Волновое уравнение

Как и в других разделах механики и физики вообще, в теории волновых процессов существует основное уравнение, называемое волновым уравнением.

Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение в частных производных, которое связывает изменения характеризующей волну функции в пространстве и во времени.

Решением волнового уравнения является уравнение волны. Это справедливо для любой волны, независимо от её конкретного вида.

Восстановим волновое уравнение по виду функции , описывающей плоскую волну.

Для этого продифференцируем функцию

дважды по каждой из переменных:

;

;

;

.

Сложим результаты дифференцирования по координатам

и сопоставим с результатом, полученным при дифференцировании функции по времени.

.

Учитывая соотношение , получаем

, ()

где - оператор Лапласа.

Уравнение () – волновое уравнение. Легко убедиться, что уравнению () удовлетворяет любая функция вида

.

Покажем это, обозначив для краткости записи выражение стоящее в скобках через .

; .

Аналогично получаем

; ; .

Подстановкой этих выражений в уравнение () убеждаемся, что рассматриваемая функция () удовлеворяет волновому уравнению ().

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (), описывает некоторую волну.

Корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при члене в уравнении () – фазовая скорость волны.

В частном случае, для плоской волны, распространяющейся вдоль оси , волновое уравнение имеет вид:

.

Скорость упругих волн.

Найдем скорость распространения упругих волн в некоторых средах (см., например, И.Е. Иродов, Волновые процессы, стр.17 – 20)

Энергия упругой волны.

Пусть в некоторой среде в положительном направлении оси распространяется упругая волна:

.

В области пространства, вовлеченной в волновой процесс, частицы среды участвуют в колебательном движении и, смещаясь из положения равновесия, вызывают упругую деформацию среды.

Выделим в среде, где распространяется волна, столь маленький объем , чтобы скорость колеблющихся частиц и деформацию среды во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и принять равными, соответственно

и .

Т.о., энергия рассматриваемой среды, как и любой механической системы, определяется как сумма кинетической и потенциальной энергии, связанных с поступательным движением частиц среды и деформацией среды, соответственно.

Деформация среды вызывает её нормальное напряжение, пропорциональное при малых деформациях величине деформации (закон Гука):

.

Потенциальную энергию деформированного объема можно определить как работу по деформации среды:

.

Переписав закон Гука в виде

,

получаем для упругой силы

и, сравнивая последнее выражение с

,

находим

.

Тогда

,

или

.

Для тонкого стержня, где скорость волны определяется выражением , или , можем записать

.

Кинетическая энергия движения колеблющихся частиц в малом объеме

.

Суммируя, получаем

,

.

Итак, выделенный объем обладает механической энергией, которая складывается из кинетической энергии частиц, колеблющихся относительно положения равновесия, определяемого координатой , и потенциальной энергии деформированной среды.

Подчеркнем, что в волновом процессе – процессе распространения колебаний – масса не переносится.

Часто бывает удобнее характеризовать волновой процесс, вводя плотность энергии.

Для бесконечно малого объема в результате предельного перехода получаем

и .

Тогда плотность энергии упругой волны

.

Количество энергии, переносимой волной в единицу времени через некоторую площадку, называется потоком энергии :

.

Поток энергии в разных точках площадки может иметь различные значения. Поэтому перенос энергии волной удобно характеризовать векторной величиной , определяющей плотность потока энергии и его направление:

,

где вектор скорости, нормальный к волновой поверхности в данном месте.

Вектор плотности потока энергии называют вектором Умова.

Интенсивность волны:

.

Стоячие волны.

При одновременном распространении в среде нескольких волн возникающие колебания оказываются геометрической суммой колебаний, вызываемой каждой их волн, т.е. волны, не возмущая друг друга, накладываются одна на другую. Это утверждение, вытекающее из опыта, называется принципом суперпозиции.

Когда колебания, обусловленные отдельными волнами, в каждой точке среды обладают постоянной разностью фаз, волны называют когерентными.

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, при котором колебания в одних точках усиливают, а в других ослабляют друг друга, т.е. происходит перераспределение энергии в пространстве.

Важный случай интерференции возникает при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой. Возникающий колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны наблюдают при отражении волны от преграды. Падающая на преграду и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь, образуют стоячую волну.

– (7.110)

уравнения плоских волн, распространяющихся вдоль и против оси .
Складывая эти уравнения, получаем

. (7.111)

Уравнение (7.111) – уравнение стоячей волны. Преобразуем его, выбрав начало отсчета по оси так, чтобы выполнялось , а начало отсчета времени так, чтобы получить и подставим .

Тогда уравнение стоячей волны примет вид:

. (7.112)