Метод последовательных исключений Гаусса

Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными вида:

(2)

Рассмотрим систему (2). Предположим, что а ₁₁ ¹ 0 (в противном случае поменяем местами два уравнения системы так, чтобы в уравнении, поставленном на первое место, коэффициент при x ₁ ¹ 0). Преобразуем систему (2), исключая переменную x ₁ из всех уравнений кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на число и вычтем из соответствующих частей i -го уравнения. В результате получим:

(3)

где a_ij, b_i – новые коэффициенты при неизвестных и новые свободные члены. Система (3) эквивалентна системе (2). Далее в уравнениях, начиная с третьего, освободимся от переменной x ₂, умножив обе части второго уравнения на числа и вычтя из соответствующих частей i –ого уравнения. В результате этого процесса может получиться, что:

1) образуется система, в которой одно уравнение имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю. В этом случае исходная система несовместна;

2) образуется система (эквивалентная исходной), имеющая ступенчатый вид

где . При k = n (число уравнений равно числу неизвестных) полученная система имеет ровно одно решение. При k < n (число уравнений меньше числа неизвестных) полученная система имеет бесконечно много решений. Пусть ранг полученной системы равен r, тогда количество базисных неизвестных равно r, а свободных (n – r). Чтобы найти решение данной системы, надо базисные неизвестные выразить через свободные.