Системы линейных уравнений

Глава IV

Системой m линейных уравнений с n неизвестными x ₁, x ₂, …, x_n или линейной системой, называется система вида:

где a_ij, b_i – числа (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). Числа a_ij называются коэффициентами, b_i – свободными членами. Число уравнений m может быть больше, равно или меньше числа неизвестных n.

Данную линейную систему можно записать в матричной форме , где

Если В = 0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы уравнений с n переменными называется упорядоченный набор из n чисел, являющийся решением каждого из уравнений системы.

Система называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет тривиальное решение Х = 0.

Базисным минором матрицы называется отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу этой матрицы. Неизвестные, входящие в базисный минор, называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными.

Процесс решения системы уравнений состоит, как правило, в последовательном переходе с помощью элементарных преобразований от данной системы к другой, более простой. Две системы уравнений называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие преобразования:

1) умножение уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на любое число;

3) перестановка местами двух уравнений системы.

При элементарных преобразованиях линейной системы получают систему, эквивалентную данной.