Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Прямоугольная система координат позволяет задавать различные линии на плоскости их уравнениями.

Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат хОу называется уравнение f(х,у)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии.

Пусть прямая l не параллельна оси Оу (рис.1). Обозначим точку пересечения прямой l с осью Оу буквой В(О;в), а угол между положительным направлением оси Ох и прямой l обозначим угол, отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки (), называется углом наклона прямой l к оси Ох.

Выведем уравнение прямой l.

Пусть М(х,у) – произвольная точка прямой l с текущими координатами х,у. Из прямоугольного треугольника ВМN (рис.1) имеем:

(1)

Отсюда y-в=xtgφ, или у=xtgφ+в и окончательно y=kx+в (2)

где k=tgφ - Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение (2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Число в – это величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

Пример 1. Составить уравнение прямой линии, отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого равна -2, и наклоненной к оси абсцисс под углом в 45°.

Решение. Здесь в=-2 и k=tg45⁰=1. Следовательно, искомое уравнение y=x-2

Пример 2. Если и уравнение данной прямой имеет вид у=х-3.

Если в уравнении (2) к=0, то имеем уравнение прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку В(0;в): у=в (3)

При в=0 из (8) получаем уравнение координатной оси Ох: у=0.

По аналогии с уравнением (3) уравнение х=а (4) есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку А(а;0).

При а=0 из равенства (4) имеем уравнение координатной оси Оу: х=0.