Ранг матрицы

Введем понятие минора матрицы. Рассмотрим некоторую матрицу :

.

Выделим в этой матрице произвольных строк и произвольных столбцов . Определитель -го порядка, составленный из элементов матрицы , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором -го порядка матрицы .

Среди миноров различных порядков матрицы есть равные нулю и отличные от нуля.

Определение 1.15. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Для определения ранга матрицы следует рассматривать все ее миноры наименьшего порядка и, если хоть один из них отличен от нуля, переходить к вычислению миноров более высокого порядка, включающих (окаймляющих) отличный от нуля минор предыдущего порядка. Такой подход к определению ранга матрицы называется методом окаймления (или методом окаймляющих миноров).

Задача 1.4. Методом окаймляющих миноров определить ранг матрицы

.

Рассмотрим окаймление первого порядка, например, . Затем перейдем к рассмотрению некоторого окаймления второго порядка.

Например, .

Наконец, проанализируем окаймление третьего порядка

.

Таким образом, наивысший порядок минора, отличного от нуля, равен 2, следовательно, .