Свойства определителей

Приведем ряд свойств, которыми обладает определитель -го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов.

При транспонировании матрицы величина ее определителя сохраняется, т.е. .

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов).

Если в определителе поменять местами два параллельных ряда (две строки или два столбца) то его знак изменится на противоположный.

3. Линейное свойство определителя.

Если в определителе -го порядка некоторая -я строка является линейной комбинацией двух строк и с коэффициентами и , то

,

где - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные такие же строки, как и у , а - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные строки те же, что и у .

Следующие пять свойств являются логическим следствием трех основных свойств.

4. Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы некоторого ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю.

7. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.

8. Если к элементам какого-либо ряда определителя добавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число k, то значение определителя при этом не изменится.

9. Теорема ЛАПЛАСА (разложение определителя по элементам строки или столбца).

Определитель произвольного порядка равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Например,

.

10. Свойство алгебраических дополнений параллельных рядов.

Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ему ряда равна нулю. Например,