Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон

2.

Теорема.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Билет 3

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Свойства:Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2ху/(x+у), где х и у — основания трапеции.(Формула Буракова)

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.

Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Теорема о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

2.

Построение биссектрисы

Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон

Билет 4

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. ДОПИСАААААААААААААТЬ

Билет 5

Билет 6

Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек А,В и их образов А",B" имеет место соотношение, где — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

2 признак подобия-Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

Билет 7

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.(3 признак подобия)

2.В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

Длина вектора, под которой понимается уже упомянутая выше его евклидова норма: (термин 'длина' обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.

При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.

Билет 8

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

2.Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Билет 9

Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.

2.

S круга=пи эр в квадрате

S сектора=???

Билет 10

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Билет 11

Свойства

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.

Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

Признаки

Два угла треугольника равны.

Высота совпадает с медианой.

Высота совпадает с биссектрисой.

Биссектриса совпадает с медианой.

Две высоты равны.

Две медианы равны.

Две биссектрисы равны

2.

СДЕЛАААТЬ

Билет 12

ЗНАЮ

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Билет 13

Как известно, медианами треугольника называются отрезки, соединяющие его вершины с серединами противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1

2.

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:

Билет 14

Противоположные стороны параллелограмма равны.

.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Сумма всех углов равна 360°.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

2.

С=2пR=пD(дэ)

Билет 15

S= r·p=1/2 r·n·a

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

2.Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов

Билет 16

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

2. ДОДЕЛАТЬ!!!

Билет 17

Противоположные стороны попарно равны:.

Противоположные углы попарно равны:.

Диагонали делятся в точке их пересечения пополам:.

Сумма соседних углов равна 180 градусов:.

Противоположные стороны равны и параллельны:.

Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма:

2.ДОДЕЛААААТЬ

Билет 18

В случае если а и б основание и h-высота:

(a+b)

S=------- *2

h

В случае если m-средняя линия и h-высота:

s=mh

2.При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов (рис.13), которые попарно называются:

1) соответственные углы (1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8); эти углы попарно

равны: (1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8);

2) внутренние накрест лежащие углы (4 и 5; 3 и 6); они попарно равны;

3) внешние накрест лежащие углы (1 и 8; 2 и 7); они попарно равны;

4) внутренние односторонние углы (3 и 5; 4 и 6); их сумма равна 180°

(3 + 5 = 180°; 4 + 6 = 180°);

5) внешние односторонние углы (1 и 7; 2 и 8); их сумма равна 180°

(1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°).

Билет 19

1/2bh

2.

Под косинусом тупого угла α (90° < α < 180°) будем понимать значение косинуса смежного с ним угла, взятого со знаком минус. Косинус прямого угла будем считать равным 0.

Под синусом тупого угла будем понимать синус смежного угла. Синус прямого угла будем считать равным 1.

Из этих определений следует, что для любых углов, таких, что 0 < α < 180° справедливы равенства

sin α = sin (180° – α) и cos α = –cos (180° – α).

Действительно, если α = 90°, то имеем верные равенства.

sin 90° = sin (180° – 90°) и cos 90° = 0 = –cos (180° – 90°).

Если α – острый угол, то 180° – α = β, 90° < α < 180° – тупой угол. Тогда по определению

sin β = sin (180° – β) или sin (180° – α) = sin (180° – (180° – α)) = sin α.

cos β = –cos (180° – β) или cos (180° – α) = –cos (180° – (180° – α)) = –cos α.

Отсюда получаем cos α = cos (180° – α).

Наконец, если α (90° < α < 180°) – тупой угол, то равенства видны по определению.

Теорема 5.3.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Теорема 5.4.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.

Доказательство

Следствие 5.1.

Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1 и углы при вершинах A, B и C одного треугольника равны углам при вершинах A1, B1, C1 соответственно, другого треугольника. Тогда отношения длин сторон этих треугольников, лежащих против равных углов равны, то есть

Доказательство

Лемма 5.1.

Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причем α < β. Тогда sin α < sin β

Доказательство

Рисунок 5.2.5.

К следствию 5.2

Следствие 5.2.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство

Теорема 5.5. Неравенство треугольника.

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей.

Доказательство

Следствие 5.3.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Билет 20

Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

2. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

СВОЙСТВА

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Билет 21

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Сумма углов треугольника=180градусов

Билет 22

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Билет 23

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

2.Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого описываемого окружностью многоугольника) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Билет 24

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

2. y=kx+b

Билет 25

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2.