Acknowledgements

и включают стандартную фразу

где вместо многоточий стоит что-то вроде an AMS fSU grant. Полезен и такой оборот: This research was carried out while the author was visiting at (...) или I would like to express my gratutude to professor (...) for his hospitality.

Но всем этим не стоит увлекаться. Пусть чётко изложенное математическое содержание вашей статьи говорит само за себя!

ПРИЛОЖЕНИЯ

Для тех читателей, которые обратились к этому приложению, не прочитав основные разделы книги (§§ 5–9, 11), отмечу, что, как правило, предложения английского математического языка можно строить, комбинируя штампы с помощью так называемых разделителей (таких словечек, как where, such that и т.п.). Поэтому я советую хотя бы просмотреть §§ 7–9 (где объясняется смысл слов термин, характеристика, ссылка и поясняется, как обращаться с артиклями) и § 11 (разделители), прежде чем строить предложения по нижеследующим спискам штампов.

Начинающему читателю я настоятельно рекомендую твёрдо усвоить основные штампы (их всего 12), по своему усмотрению выписать и освоить ещё штук 10–20 и, пролистав пару статей по своей специальности ¹³, отобрать из них ещё штук 10. С полученным списком из 30–40 штампов стоит немного поупражняться (покомбинировать их с помощью разделителей, как в § 11) и добавить выбранный по вкусу список вводных выражений (см. § 13 и Приложение II). После этого можно начинать писать текст своей статьи на этой основе. При этом надо не переводить, а пересказывать русский текст, а ещё лучше сразу писать по-английски из головы или по черновым формульным записям.

Эти штампы используются постоянно во всех математических текстах. В обычных англоязычных статьях они составляют от 60 до 70% оборотов. Комбинируя их, можно в принципе выразить практически любую математическую семантику. Поучительно, что почти все основные штампы пословно не переводятся, или плохо переводятся на русский — это чисто английские идиомы. Для читателей, освоивших различие между «объектами» и «понятиями» (§§ 9, 10), отметим, что в штампах из этого списка среди терминов мы не различаем объекты и понятия, и поэтому не указываем артикли; читателя, не владеющего этим искусством, мы отсылаем к §§ 9, 10. Впрочем, правильно расставить артикли помогают приведённые после каждого штампа примеры применения этих штампов.

1. áтерминñ IS áхарактеристикаñ.

The function f is continuous.

Функция f — непрерывна.

2. áтерминñ IS áтерминñ.

The set R is a ring.

Множество R является кольцом.

3. CONSIDER áтерминñ.

Consider the point (1,1) Î R ².

Рассмотрим точку (1,1) Î R ².

4. WE HAVE áвыделенная формулаñ.

We have

Имеем

5. LET áсимвол или терминñ BE áтерминñ.

Let V be a vector space.

Пусть V — векторное пространство.

6. FOR ANY áсимвол или терминñ THERE EXISTS áтерминñ.

For any continuous mapf: I → I there exists a fixed point c Î I.

Для любого отображения f: I → I существует неподвижная точка c Î I.

7. BY áсимволñ DENOTE áтерминñ.

By R denote the set of real numbers.

Обозначим через R множество действительных чисел.

8. IT FOLLOWS FROM áссылкаñ THAT [утверждение].

It follows from Lemma 2 that α is injective.

Из Леммы 2 следует, что α инъективно.

9. áтерминñ IS CALLED áопределяемое понятиеñ IF [утверждение].

A manifold is called acyclic if Hⁱ (M) = 0 (i > 0).

Многообразие называется ацикличным, если Hⁱ (M) = 0 (i > 0).

The map s: B → E is called a section of ξ if ξ ○ s = id.

Отображение s: B → E называется сечением расслоения ξ, если ξ ○ s = id.

10. IF [утверждение], THEN [утверждение].

If D (f) is compact, then f is bounded.

Если D (f) — компактно, то f — ограничена.

11. [утверждение] IF AND ONLY IF ¹⁴ [утверждение].

A closed 3- manifold M is S ³ if and only if π₁ M = 0.

Замкнутое трёхмерное многообразие M является сферой S ³ тогда и только тогда, когда π₁ M = 0.

12. áтерминñ HAS THE FORM áформула или ссылкаñ.

The simplest parabola has the form x ² = y.

Простейшая парабола имеет вид x ² = y.

Здесь собраны видоизменения основных штампов (связанные, например, с множественным числом); они обозначены теми же номерами, только со штрихами.

1′. áтерминыñ ARE áхарактеристикаñ.

The numbers 5 and 17 are prime.

Числа 5 и 17 — простые.

2′. áтерминыñ ARE áтерминыñ.

Z and Q are abelian groups.

Z и Q — абелевы группы.

Обратите внимание на букву s, указывающую на множественное число в конце примера 2′, и на её отсутствие в примере 1′: по-английски прилагательные неизменяемы по числу.

Добавляя слово not после is или are, мы получаем логические отрицания штампов 1, 2, 1′, 2′.

3′. TAKE áтерминñ.

Take a point x Î X.

Возьмём точку x Î X.

Этот оборот синонимичен штампу 3, им следует пользоваться, чтобы разнообразить речь. Аналогичную (стилистическую) роль играют обороты 4′ и 4″ по отношению к 4:

4′. WE GET áвыделенная формулаñ.

4″. WE OBTAIN áвыделенная формулаñ.

5′. LET áтерминыñ BE áтерминыñ.

Let x, y, z be the coordinates in R ³.

Пусть x, y, z — координаты в R ³.

5″. LET áтермин или символñ BE áтерминñ, áтермин или символñ BE áтерминñ,...

Let M be a manifold, X be a vector field on M, and x ₀ Î M be the initial point.

Пусть M — многообразие, X — векторное поле и x ₀ Î M — начальная точка.

По-английски категорически нельзя заменять повторяемый глагол на тире, а слово be лучше повторять; обратите внимание на запятую перед and (ср. с § 11).

В штампе 6 можно опустить начальные for any.

6′. THERE EXISTS áтерминñ.

There exists a nontrivial smooth solution of the Bellman equation.

Существует нетривиальное гладкое решение уравнения Беллмана.

Множественное число получается так:

6″. THERE EXIST áтерминñ.

There exist two maximums of the function f.

У функции f существуют два максимума.

Добавляя слово unique после exists, получаем следующие важные штампы.

6′′′. FOR ANY áтермин или символñ there exists a unique áтерминñ.

For any bounded sequence there exists a unique least upper bound.

Для любой ограниченной последовательности существует единственная точная верхняя грань.

6′′′′. THERE EXISTS A UNIQUE áтерминñ.

There exists a unique nontrivial subgroup of G.

Существует единственная нетривиальная подгруппа группы G.

7′. LET áсимволñ DENOTE áтерминñ.

Let p ₀ denote the largest prime.

Обозначим через p ₀ наибольшее простое число.

8′. BY áссылкаñ, IT FOLLOWS THAT [утверждение].

By Lemma 1, it follows that V is semialgebraic.

Из леммы 1 следует, что V — полуалгебраическое множество.

8″. USING áссылкаñ, WE GET [утверждение].

Using (5.3), (5.7), and (6.2), we get

Пользуясь (5.3), (5.7) и (6.2), мы получаем

9′. áтерминñ IS CALLED áопределяемое понятиеñ.

The number Δ = b ² – 4 ac is called the discriminant of equation (1).

Число Δ = b ² – 4 ac называется дискриминантом уравнения (1).

9″. áтерминыñ ARE CALLED áопределяемые понятияñ.

Solutions of the equation | A – λ E | = 0 are called eigenvalues of A.

Решения уравнения | A – λ E | = 0 называются собственными значениями оператора A.

Если утверждения в штампе 10 достаточно длинные, можно разбить фразу на две следующим образом:

10′. SUPPOSE [утверждение]; THEN [утверждение].

Под этим заголовком можно было бы поместить штампы 7, 7′, 9, 9′ и 9″, но они попали в «основные». Здесь приводятся менее ходовые.

13. áтерминñ IS SAID TO BE áназваниеñ IF [утверждение].

A group G is said to be commutative if " g ′, g ″ Î G, g ′ * g ″ = g ″ * g ′.

Говорят, что группа G коммутативна, если " g ′, g ″ Î G, g ′ * g ″ = g ″ * g ′.

A set with operations Å, · is said to be an idempotent semiring if the operations satisfy conditions (1)...

Говорят, что множество с операциями Å, · есть идемпотентное полукольцо, если эти операции удовлетворяют условиям (1)...

14. ...; THEN THIS áтерминñ IS CALLED áназваниеñ.

...; then this group is called abelian.

...; тогда эта группа называется абелевой.

...; then this set is called the convex hull of A.

...; тогда это множество называется выпуклой оболочкой множества A.

15. WE SAY THAT áтерминñ HAS áназваниеñ IF [утверждение].

We say that the polynomial p (x) = a_nxⁿ +... + a ₀ has degree n, if a_n ¹ 0.

Говорят, что полином p (x) = a_nxⁿ +... + a ₀ имеет степень n, если a_n ¹ 0.

16. áтерминñ IS CALLED áназваниеñ IF THE FOLLOWING CONDITIONS HOLD: (i) [утверждение]; (ii) [утверждение];...

A set with operations Å, · is called an idempotent semiring if the following conditions hold:
(i) a · (b Å c) = (a · b) Å (a · c); (ii)...

Множество с операциями Å, · называется идемпотентным полукольцом, если выполнены следующие условия:
(i) a · (b Å c) = (a · b) Å (a · c); (ii)...

17. WE SAY THAT áтерминñ IS áназваниеñ AND WRITE áсимволñ.

We say that the set { x Î E: x Ï A } is the complement of A and write A = E \ A.

Говорят, что множество { x Î E: x Ï A } является дополнением к A, его обозначают A = E \ A.

18. BY DEFINITION, PUT áформулаñ.

By definition, put

По определению полагаем

При описании вычислений чаще всего используется штамп 4:

WE HAVE áформулаñ

или конструкции, в которых формула непосредственно следует за вводным выражением:

THEREFORE, áформулаñ,
HENCE, áформулаñ.

Вводные выражения можно варьировать; кроме двух указанных выше рекомендуется использовать now, but, whence, so, it follows that, however.

Кроме штампа 4 (WE HAVE), наиболее часто используются его варианты; в простейшем виде:

19. WE GET áформулаñ.

20. WE OBTAIN áформулаñ.

Или в более сложных вариантах:

21. USING áссылкаñ, WE GET áформулаñ.

Using Theorem 2.3, we get W (x) = A ^–1 ○ B (x) ○ A.

Используя теорему 2.3, мы получаем W (x) = A ^–1 ○ B (x) ○ A.

Using (2.1), (8.3), and (8.4), we get X =...

Воспользовавшись (2.1), (8.3) и (8.4), получаем X =...

Когда этот штамп приедается, можно пользоваться следующим.

22. TAKING INTO ACCOUNT áссылкаñ, WE OBTAIN áформулаñ.

Taking into account Theorem 2.3, we obtain W (x) = A ^–1 ○ B (x) ○ A.

Используя теорему 2.3, мы получаем W (x) = A ^–1 ○ B (x) ○ A.

23. COMBINING áсписок ссылокñ, WE GET áформулаñ.

Combining (12), (13), and (24), we get...

Комбинируя (12), (13) и (24), получаем...

24. COMBINING THIS WITH áссылкаñ, WE GET...

Combining this with (21), we get Lemma 2.1.

Сопоставив это с уравнением (21), мы получаем лемму 2.1.

25. SUBSTITUTING á ñ FOR á ñ IN á ñ, WE OBTAIN...

Substituting 2 x for u in (25), we get...

Заменяя u на 2 x в формуле (25), получаем...

26. ADDING á ñ ТО BOTH SIDES, WE GET...

Adding 3Δ² to both sides, we get...

Добавляя 3Δ² к обеим частям, получаем...

27. SUBTRACTING á ñ FROM á ñ, WE GET...

Subtracting this integral from (2.1), we obtain...

Вычитая этот интеграл из (2.1), получим...

28. MULTIPLYING BOTH SIDES BY á ñ, WE GET...

Multiplying both sides by T (y), we get...

Умножив обе части на T (y), получим...

29. SUMMING á ñ, WE OBTAIN...

Summing (21), and (73), we obtain...

Складывая равенства (21) и (73), получаем...

30. INTEGRATING á ñ W.R.T. ¹⁵ á ñ, WE GET...

Integrating (3.1) with respect to x, we get...

Differentiating (3.1) w.r.t. x, we get...

Интегрируя (дифференцируя) (3.1) по x, получаем...

31. INTEGRATING á ñ OVER á ñ, WE GET...

Integrating this expression over M, we get...

Интегрируя это выражение по области M, получаем...

32. FROM á ñ, WE GET THE FOLLOWING á ñ:...

From Lemma 3, we get the following estimate:...

Из леммы 3 получается следующая оценка:...

Здесь мало специфических штампов.

33. á ñ IS ISOMORPHIC ТО á ñ.

The tensor product A Ä B is isomorphic to W.

Тензорное произведение A Ä B изоморфно W.

34. LET á ñ BE á ñ WITH RESPECT TO á ñ.

Let GL (n) be the algebra of n × n-matrices w.r.t. matrix multiplication.

Пусть GL (n) — алгебра матриц размера n × n относительно матричного умножения.

35. LET á ñ BE á ñ OVER á ñ.

Let V be a finite-dimensional vector space over C.

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем C.

36. DEFINE THE á ñ OF TWO á ñ AS á ñ.

Define the sum of two residues mod m as the residue mod m of their ordinary sum.

Определим сумму двух вычетов по модулю m как остаток по модулю m их обычной суммы.

37. THIS á ñ IS WELL DEFINED.

This residue is well defined.

Этот вычет определён корректно.

38. á ñ FORM A á ñ UNDER á ñ.

Unitary matrices form a group under multiplication.

Унитарные матрицы образуют группу по умножению.

39. DEFINE á ñ BY THE RULE á ñ.

Define the map α: GL (n) → R ^{n ²} by the rule || a_ij || → (a ₁₁,..., a_nn).

Определим отображение α по правилу || a_ij || → (a ₁₁,..., a_nn).

40. LET á ñ BE GIVEN BY á ñ.

Let the mapping f: C → R be given by f: z → 2| z |².

Пусть отображение f: C → R задано следующим образом: f: z → 2| z |².

41. LET THE á ñ TAKE EACH á ñ TO á ñ.

Let the map y take each z to √ z, arg √ z ≤ π.

Пусть отображение y переводит каждое число z в число √ z, arg √ z ≤ π.

42. LET á ñ BE THE á ñ FROM á ñ TO á ñ TAKING á ñ TO á ñ.

Let φ be the map from A to X ² taking a Î A to (j (a), 0) Î X ².

Пусть φ — отображение из A в X ², переводящее a Î A в (j (a), 0) Î X ².

43. DENOTE BY á ñ THE á ñ THAT TAKES EACH á ñ TO á ñ.

Denote by i _* the isomorphism that takes each { c } to the class { i (c)}.

Обозначим через i _* изоморфизм, переводящий каждый класс { c } в класс { i (c)}.

44. THE á ñ TAKES á ñ ТО á ñ.

The operator d/dx takes the function f (x) to f ′(x).

Оператор d/dx переводит функцию f (x) в f ′(x).

45. á ñ UNDER THE á ñ IS á ñ.

The preimage of 1 under the map z → zⁿ is the set e ^{2π ik / n} , k = 0,..., n –1.

Полный прообраз числа 1 при отображении z → zⁿ состоит из точек e ^{2π ik / n} , k = 0,..., n –1.

46. DENOTE BY á ñ THE RESTRICTION OF á ñ TO á ñ.

Denote by f | _A the restriction of f to A Ì X.

Обозначим через f | _A ограничение f на A Ì X.

47. DENOTE BY á ñ THE EXTENSION OF á ñ TO á ñ BY á ñ.

Denote by α the extension of α to the entire space R ⁿ by the identity on R ⁿ \ X.

Обозначим через α продолжение отображения α на всё пространство R ⁿ посредством тождественного отображения на R ⁿ \ X.

48. LET á ñ BE GIVEN BY á ñ ON á ñ AND BY á ñ ON á ñ.

Let the map f: A È B → X be given by f (a) = φ(a) on A and byf (b) = ψ(b) on B.

Пусть отображение f: A È B → X задано формулой f (a) = φ(a) на A и формулой f (b) = ψ(b) на B.

Специфические конструкции, используемые в топологии, очень разнообразны. Я советую:

1. прочитать § 27;
2. прочитать и сделать выписки из статьи хорошего геометра или тополога по вашей специальности.

Здесь я привожу лишь несколько образцов и замечаний.

49. ATTACH á ñ ТО á ñ BY á ñ.

Attach the cell C _ζ to X_n by the map ζ: D^{n +1} → X_n.

Приклеим клетку C _ζ к «остову» X_n посредством отображения ζ: D^{n +1} → X_n.

50. CUT OUT á ñ AND ATTACH á ñ ALONG á ñ.

Cut out the disk D ² from M and attach a handle H ² along an orientation-preserving homeomorphism h: δ D ² → δ H.

Вырежем диск D ² из M и приклеим ручку H ² по сохраняющему ориентацию гомеоморфизму h: δ D ² → δ H.

51. PUT á ñ IN GENERAL POSITION WITH RESPECT TO á ñ.

Put the smooth map φ in general position w.r.t. the submanifold M^k Ì R ⁿ.

Приведём гладкое отображение φ в общее положение относительно подмногообразия M^k Ì R ⁿ.

52. á ñ BOUNDS á ñ IN á ñ.

The sphere S^{n –1} bounds a disk Dⁿ in the space R ⁿ.

Сфера S^{n –1} ограничивает диск Dⁿ в пространстве R ⁿ.

Заметим (в связи с примером 52), что слово boundary по-английски означает как «границу», так и «край» (омонимия!); слово же edge означает «ребро» (графа или полиэдра) и в смысле «край» (многообразия) никогда в математических текстах не используется. В этой же связи обратим внимание читателя на слово span (существительное и глагол), не имеющее аналога в русском языке и означающее (в глагольной форме) что-то вроде «натянуть на». Вот примеры его употребления.

53. á ñ SPANS á ñ.

The disk Δ spans the curve γ.

Диск Δ натянут на кривую γ.

54. LET á ñ BE á ñ THAT SPANS á ñ.

Let Δ be a singular disk that spans the curve γ.

Пусть Δ — сингулярный диск, натянутый на кривую γ.

Let L be the linear subspace that spans the vectors e ₁,..., e_n.

Пусть L — линейное подпространство, натянутое на вектора e ₁,..., e_n.

В заключение, три полезных штампа для топологов.

55. LET á ñ BE á ñ JOINING á ñ ТО á ñ.

Let α: [0, 1] → X be a path joining a to b.

Пусть α: [0, 1] → X — путь, соединяющий a и b.

Let F_t be a homotopy joining a to b.

Пусть F_t — гомотопия, соединяющая отображения a и b.

56. BY APPROPRIATELY MODIFYING á ñ, WE CAN ASSUME THAT [ ].

By appropriately modifying the map f, we can assume that all singularities of f are canonical.

Модифицируя отображение f соответствующим образом, мы можем считать каноническими все его сингулярности.

Последний штамп — для тех, кому проще нарисовать, чем объяснить словами:

57. THE CONSTRUCTION áof the map f ñ IS SHOWN IN [Fig. 5].

Вводные выражения (или слова), подробно описанные в § 13, кратко можно определить как группы слов, которые ставятся в начале предложения, синтаксически не связаны с ним, но влияют на его семантику. Чаще всего используются suppose и then, которые обычно появляются последовательно (подряд в двух фразах). Приводимый ниже список организован в 26 групп семантически близких выражений.

Further, | Moreover, | Besides, | On the other hand, | Furthermore, | In addition, | Finally, | Also,

However | But | Nevertheless | At the same time | Now | On the other hand, | Still

Obviously, | Clearly, | Evidently, | Trivially, | It is obvious that | It is clear that | It is readily seen that

It is easy to prove that | It can be proved that | It is easily shown that | We see that | It follows easily that | It can easily be checked that | It is not hard to prove that

That is | In other words, | Equivalently, | This means that | In these terms, | In this notation, | In other notation,

Therefore | Hence | Whence | Thus | It follows that | This implies that | This yields that | Consequently ¹⁶

In the converse case, | Otherwise | Conversely, | Assuming the converse,

Similarly, | In the same way, | For the same reason, | By the same argument, | As before, | As above, | Likewise,

Let us prove that | Let us show that | We claim that | Let us check that | We shall prove that | We shall see that | We shall show that

By assumption, | By the inductive hypothesis, | By the inductive assumption, | Suppose inductively that, | By the previous statement,

By definition, | By construction, | By the above

We may assume that | It can be assumed that | Without loss of generality it can be assumed that | To be definite, assume that | For the sake of being definite, suppose | We can assume without loss of generality that | To be precise,

For example, | In particular, | Specifically, | As an example, | For instance,

Note that | Notice that | Let us remark that | Note also that | We stress that

First | Secondly | Thirdly | First we shall show that | Now we show that | Finally we shall show that

First note that | Now note that | Further note that | Finally note that

First let us prove that | Now let us prove that | Finally let us prove that

It can be shown in the usual way that | It follows in the standard way that | We already know that

In general, | Generally, | In the general case,

Here | In this case, | In our case,

Indeed, | In fact, | Namely | Actually

Recall that | Let us remember that

We have proved that | This proves that | This shows that | This argument shows that

The reader will easily prove that | The reader will have no difficulty in showing that

In this paper we prove that | In this section we show that

Arguing as above, we see that | Continuing this line of reasoning, we see that

В предыдущем списке приводятся слова и выражения, не образующие грамматически замкнутые конструкции: они нуждаются в продолжении. Нижеследующий же список состоит из замкнутых идиом, которые используются как цельные фразы без изменений и добавлений.