Навигация

Теорема Нётер

Https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CD%B8%F2%E5%F0

[править | править вики-текст]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Эмми Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:
однородности времени соответствует закон сохранения энергии,
однородности пространства соответствует закон сохранения импульса,
изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса,
калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Теорема установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и Э. Нётер. В наиболее распространенной формулировке была доказана Эмми Нётер в 1918 году.

Содержание

[убрать]

• 1 Формулировка
• 1.1 Классическая механика
• 1.2 Теория поля
• 1.3 Дифференциальные уравнения
• 1.3.1 Законы сохранения
• 1.3.2 Вариационные симметрии
• 1.3.3 Характеристики векторных полей
• 1.3.4 Теорема Нётер
• 2 Законы сохранения
• 3 Приложения
• 4 Примечания
• 5 Литература
• 6 Ссылки

Формулировка[править | править вики-текст]

Классическая механика[править | править вики-текст]

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов , сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

и функция Лагранжа инвариантна относительно этих преобразований, то есть

при

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра , причем в процессе движения . Тогда из преобразований

следует первый интеграл

Теория поля[править | править вики-текст]

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от потенциалов, зависящих, в свою очередь, от координат. Функционал действия будет иметь вид

Пусть однопараметрическая группа диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, . Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

поэтому поток через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия . Здесь — лагранжиан, — независимые переменные, — зависимые переменные, то есть функции от . может зависеть также и от производных по , не обязательно только первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые можно записать в виде

,

где — операторы Эйлера-Лагранжа:

,

— производная функции по переменной . Многоточие означает, что если зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в . В компактной записи , где — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем слагаемым таким, что производная входит в .

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения[править | править вики-текст]

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа. Здесь — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по . — гладкие функции , и производных по .

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

• для которых само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
• или для которых обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
• или для которых есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями и разность даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

,

где — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: . Для описываемого случая и

.

зависят от , и производных по и называются характеристиками закона сохранения.

Вариационные симметрии[править | править вики-текст]

Пусть имеется обобщённое векторное поле

.

«Обобщённое» понимается в том смысле, что и могут зависеть не только от и , но и от производных по .

Определение: называется вариационной симметрией функционала , если существует набор функций такой, что

.

— продолжение . Продолжение учитывает, что действие на и вызывает также инфинетизимальное изменение производных, и задаётся формулами

.

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме , слагаемые с такими , для которых входят в или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что — это инфенитизимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал таким образом, что уравнения Эйлера-Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если является вариационной симметрией, то является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера-Лагранжа:

.

Эта формула означает, что инфинетезимальные изменения выражений , записанные здесь в виде , обращаются в 0 на решениях.

Характеристики векторных полей[править | править вики-текст]

Набор функций (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля . Вместо можно брать векторное поле

,

которое называется эволюционным представителем .

и определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики , можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение определяется аналогично продолжению , но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от .

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Теорема Нётер[править | править вики-текст]

Обобщённое векторное поле определяет группу симметрий функционала в том и только в том случае, если его характеристика является характеристикой закона сохранения для соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения[править | править вики-текст]

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Приложения[править | править вики-текст]

Теорема Нётер позволяет получать значительную информацию о свойствах решений системы дифференциальных уравнений, основываясь лишь на их симметрии. Она также является одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций. Например:

• Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее, если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то сохраняется импульс вдоль этой оси.
• Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
• Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

В силу своей фундаментальности, теорема Нётер используется в таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

В квантовой теории поля аналогом теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаси (англ.), позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, закон сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

Заряд Нётер также используется для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры^[1].

Примечания[править | править вики-текст]

1. ↑ Calculating the entropy of stationary black holes. (англ.)

Литература[править | править вики-текст]

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
• Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с., 1983 г.

Ссылки[править | править вики-текст]

• Перевод статьи Нётер на английский
• Статья о Теореме Нётер, by John Baez (англ.)
• E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
• Теорема Нётер на MathPages. (англ.)
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (англ.)
• Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

<img src="//ru.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;" />

Источник — «http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема_Нётер&oldid=64022133»

Категории:

• Теоретическая механика
• Теория поля
• Квантовая теория поля
• Физические теоремы
• Законы сохранения
• Симметрия (физика)
• Дифференциальные уравнения

Навигация