Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задачСтереометрия – это геометрия в пространстве. В основном задачи по стереометрии сводятся к геометрическим задачам на плоскости, поскольку обычно требуемые элементы можно найти, сведя исходную задачу к нескольким планиметрическим. Задачи эти довольно-таки трудны, здесь главное опыт. А знание теоремы Менелая – это просто находка для решения стереометрических задач. Она может оказаться очень полезной при изучении темы «Объемы тел» в курсе геометрии 11 класса. Ниже приведем несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы. Владение методами их решения дает большое преимущество перед школьниками, которые не умеют решать такого рода задачи.
Задача 1. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К? Дано:DABC – правильная пирамида, , , , , BLK –
плоскость, - объем верхней части пирамиды, - объем нижней части пирамиды. Найти: . Решение: 1) Построим сечение пирамиды DABC плоскостью BLK. соединяем, соединяем, , соединяем, MLB - искомое сечение (рис.48). 2) Найдем , где - объем всей пирамиды. Пусть BH – высота пирамиды DABC, проведенная из вершины В, но она – высота и BMDL. ; V = , V = ; ; , -? 3) Из ADC: , , , . По теореме Менелая , . , , . (или: во всем объеме пирамиды 33 части, в верхней – 16, значит, 33-16=17 – частей составляет . Тогда ) Ответ: . Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида с вершиной . На продолжении ребра взята точка так, что . Через точки М, В и середину ребра проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды? Решение: 1) Построим сечение плоскостью . (по условию). а) , соединяем BL; б) , соединяем LM; в) , соединяем BM, ; , соединяем г) четырехугольник BLEK – искомое сечение. 2) Обозначим объемы нижней части пирамиды, верхней части и всей пирамиды , и соответственно, сторону основания – . ( MBC - прямоугольный) ; MKD~ MBC по двум углам ; 3) ~ по двум углам . 4) Рассмотрим MLC и секущую . . По теореме Менелая ; Значит ; . 5) . 6) SCH ~ по двум углам . Пусть , тогда , . . 7) , т.е. V содержит 60 частей, на приходится 31 часть. Ответ: 29:31 Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами , и . Причем на продолжении ребра взята точка так, что . Через точки , и середину ребра проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы? Решение: 1) Построение сечения: а) , соединяем MB , . б) , соединяем , . в) , соединяем . г) четырехугольник - искомое сечение. 2) Пусть , , - объемы нижней части, верхней части и всей призмы, - высота призмы, - сторона основания. ; MLA ~ ; Рассмотрим ABC, - секущая, . По теореме Менелая . , , ; , , , . , - части приходится на . . Ответ: 13:23
Задачи для самостоятельного решения: 1. Дана правильная четырехугольная пирамида с вершиной . На продолжении ребра взята точка так, что . Через точку и середины ребер и проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды? 2. Высота правильной призмы равна стороне ее основания. Точки и - середины ребер и соответственно. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки , и , если сторона основания равна . 3. В тетраэдре ZABC проведено сечение плоскостью. Точки M,N,P,Q принадлежат плоскости и ребрам ZA,AB,BC,CZ соответственно, причем ZM= MA, AN= NB, BP= PC, CQ= QZ. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 4. Объем тетраэдра ZABC равен 7. Через середины ребер ZA и CB проведена плоскость, пересекающая ребро ZC в точке Q, а ребро AB – в точке L. При этом ZQ:QC=2:5, AL:LB=2:5. Найдите площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние до нее от вершины A равно 1.
Использовать приведенные задачи можно и на уроках заключительного повторения в 11 классе, причем здесь необходима целенаправленная работа по систематизации и углублению знаний учащихся. В работе можно использовать задания, приведенные в п.2.1, в приложении 2. Особое внимание нужно уделить планиметрическим задачам, так как они составляют основную массу задач вступительных экзаменов в вузы. Наличие заданий различной трудности позволит вести дифференцированную работу с учащимися.
Заключение
Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать[10, с.3]. Многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты вошли в основной курс планиметрии, некоторые замечательные теоремы включены в программу профильных классов. Данная работа посвящена двум таким теоремам – теореме Менелая и теореме Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. Кроме того, здесь поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Предложенный материал дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач. Рассматриваемые в работе вопросы выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения (9 класс), подготовиться к вступительным экзаменам (11 класс). Предлагаемые в работе задачи интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию школьников. Эти задачи рассчитаны в первую очередь на учащихся, интересующихся математикой, желающих иметь хорошие навыки в решении геометрических задач. Вместе с тем, их содержание позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать вопросы, доступные и интересные всем учащимся. Думается, что представленный в работе материал будет полезен коллегам и может стать основой соответствующего теме элективного курса по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике.
Литература. 1. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Зорин В.А., Казимирова В.М., Новоженов М.М. Математика - 2000: Предварительное тестирование.- Нижний Новгород, ННГУ, 2000- 237с. 2. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Алексеев А.А., Калинин А.В., Новоженов М.М. Математика: Предварительное тестирование. – Нижний Новгород: ННГУ, 2005.- 132с. 3. Алексеев В. Бородин П. и др. Планиметрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ / Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2000,-№8.-с.18-22 4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2004. - 208 с. 5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с. 6. Иванов К.А. О пропорциональных отрезках в треугольнике / Математика в школе, 2004. - №8. – с.20-25 7. Иванова Т.А., Перевощикова Е.Н., Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/Т.А Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И.Кузнецова; под ред. проф. Т.А.Ивановой. – Н.Новгород: НГПУ, 2003. - 320с. 8. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский дом «Первое сентября», 2004, - №13. – с.23-26 9. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая / Математика. Издательский дом «Первое сентября», 2004,- №14. – с.24-27 10. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека «Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2002. – 32с. 11. Олимпиада Таланты Земли Нижегородской – Математика – http://www.unn.ru/olimp/olimp/archiv/tzn 2004 12. Пантелеев В.П. Пропорциональные отрезки и то, что за ними/ Математика в школе, 2004,- №8. – с.25-31 13. Портал естественных наук. Дополнительные соотношения между элементами в треугольнике. – http://e-science.ru/math/theory 14. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1.- М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит., 1991. – 320с. 15. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М.: Просвещение, 2005. – 254с. 16. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике / Математика в школе, 2004, - №4. – с.12-16 17. Тихов М.С., Алексеев А.А., Макеев Н.Г. Математика: 2006. Предварительное тестирование. – Н.Новгород: ННГУ, 2006. – 67с. 18. Тихов М.С., Алексеев А.А. Математика:2006. Летнее тестирование. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2006. – 72с. 19. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М: МЦНМО, 2005. – 944с. 20. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 классы/ А.В. Фарков. – М: Айрис-пресс, 2006. – 128с. 21. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Интенсивный курс подготовки к экзамену. – М: Айрис-пресс,Рольф, 2001. – 416с. 22. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб.завед.- М: Дрофа, 2000. – 368с. 23. Шарыгин И.Ф. Планиметрия, 9-11 кл.: От учебной задачи к творческой: Пособие для учащихся. – М: Дрофа, 2001. – 400с. 24. Шестаков С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9-й кл. / С.А.Шестаков, И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич; под ред. С.А.Шестакова.–М: АСТ:Астрель,2006.– 255с.
|