Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы »

«Все незначительное нужно,

чтобы значительному быть…»

И. Северянин.

1.1. Теорема Чевы.

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки A ,B и C (рис.1).

При каком расположении этих точек прямые AA , BB и CC пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.

(Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами - понятно, почему).

Сформулируем теорему Чевы.

Теорема. Пусть в ABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки A ,B и C , не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AA , CC и BB пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

. . =1 ()

Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.

Необходимость. Пусть AA , BB , CC пересекаются в точке O. Докажем справедливость равенства ().

1) Рассмотрим сначала случай внутренней точки O (рис.1а), при котором точки A ,B ,C лежат на отрезках BC,AC и AB соответственно.

Проведем через вершину B прямую a ll AC (рис.2). Пусть AA ∩ a =M,

CC ∩ a= N.

Замечаем, что AA C~ MA B по I признаку ( AA C= MA B как вертикальные, CAA = BMA как накрест лежащие при параллельных прямых а, АС и секущей АМ).

Аналогично

из подобия AC C и BC N по I признаку имеем = (2);

AOB ~ MOB = (3)

B OC~ BON = (4)

Из (3) и (4) получаем = или = (5)

Перемножив соответственно левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство():

. . = . . =1. Необходимость доказана.

Примечание 1: равенство () можно получить, заменив отношения отрезков в его левой части на отношение площадей. Считаю целесообразным привести другое

доказательство.

Итак, вернемся к (рис.1а), заметим, что AOB и COB

рис.3 имеют общую сторону BO.

Их высоты AL и CK соответственно (рис.3). AB L~ CB K, = .

Тогда = = = .

Аналогично, AOC и COB имеют общую сторону OC.

= . Наконец, = .

Перемножая эти три равенства, получаем 1= . . = . . ,что соответствует () [19,с.87].

2) Рассуждая аналогично для случая внешней точки O (рис1б), замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек A ,B ,C , одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота в AOB,проведенная из вершины A, CK- высота в COB, проведенная из вершины C, OB – их общая сторона (рис.4).

= . Из подобия AB L и СB K по I признаку имеем = = . Аналогично, = , = . Перемножая, получаем нужное равенство. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления(A ,B или C соответственно) - она может быть расположена вне стороны треугольника - а потом к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Примечание 2: можно сообщить теорему Чевы учащимся уже в 8 классе (общеобразовательный класс, факультатив, кружок) после изучения темы «Площадь треугольника». Тогда доказательство можно провести следующим образом.

Так как ABB и B BC (рис.1а) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, то есть = S = .S

Аналогично, = S = .S

Тогда = = = (1) = (высоты равны) S = .S

C другой стороны, = S = .S

= = (2) И, наконец, = = , откуда выражаем S и S

= = (3). Перемножим (1), (2), (3), получим равенство ().

3) Докажем равенство () для случая, когда прямые AA ,BB ,CC параллельны

(рис.5)

а) CAA ~ CB B по I признаку, = = (1)

б) BB A~ C CA по I признаку, = = (2)

в) С BC~ ABA по I признаку, = = (3)

Перемножая равенства = , = и = ,

рис.5 получаем 1= BC= (4)

Перемножая равенства = , = и = , получаем

1= BC= (5). Из (4) и (5) = , поделим его на

правую часть, получим ().

Достаточность.

Пусть для точек A ,B ,C выполнено равенство ().Покажем, что прямые

AA ,BB и CC проходят через одну точку. Пусть AA BB =O, CO AB=C .Тогда для точек A ,B ,C по теореме Чевы (необходимость) выполняется условие . . =1.

Сравнивая это равенство со (), получаем, что = . Это означает, что точки C и C делят отрезок AB (в случае внутренней точки O) в одном и том же отношении, а значит, точка C совпадает с точкой C . В случае внешней точки O рассуждение аналогично. Если же () выполняется и при этом AA ll CC , то через вершину B проведем прямую b ll AA , найдем точку B ее пересечения с прямой AC (рис. 6).

Так как для случая трёх параллельных прямых теорема Чевы (прямое утверждение) была доказана, то для прямых AA ,b,CC выполняется . . =1.

Сравнивая его со (), получаем = . Если точки B и B принадлежат отрезку AC, то они делят его в одном и том же отношении, а значит, совпадают. Если B и B не принадлежат отрезку AC, то они лежат по одну сторону от точек A или C в зависимости от того, лежит ли A на отрезке AC или C на отрезке AB, и из равенства отношений следует совпадение точек B и B ,а значит, BB ll AA ll СС . Теорема доказана.

Примечание 3: процедура составления() не зависит от выбора «отправной» вершины и направления обхода, так как всегда будет получаться произведение, равное 1. Действительно, если . . =m=1, то = =1 (и т.д.).