Формула извлечения корня

Пусть — фиксированное комплексное число. Тогда уравнение , имеет ровно различных решений. Это утверждение является следствием основной теоремы алгебры.

При извлечении корня - ой степени из комплексного числа должны быть получены различных значений.

Эти значения , , …, могут быть вычислены по формуле

.

(2)

Эту формулу легко запомнить, пользуясь символьным правилом и тем, что для получения необходимо к аргументу числа прибавить .

Пример 2. Найти все корни 3-ей степени из комплексного числа .

Решение. Переведем число в показательную форму и воспользуемся формулой извлечения корня

, то есть,

,

,

.

Если отметить все корни -ой степени на комплексной плоскости, то эти корни будут вершинами правильного -угольника. В данном случае, например, получится правильный треугольник.

Задачи

1. Вычислить выражение и представить результат в алгебраической форме:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

2. Найдите и изобразите на комплексной плоскости все корни n -ой степени:

а)	б)	в)
г)	д)	е)

Ответы

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) 1.

2. а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .