Параллельность

Аксиомы

А к с и о м а 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость,

и притом только одна.

А к с и о м а 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой

лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую. Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.

А к с и о м а 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую,

которой принадлежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Сл.1 Через прямую и не лежащую на ней точку, проходит единственная плоскость.

Сл.2 Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Параллельность

ОПР. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Т. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Т. Теорема о параллельности трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).

Параллельность прямой и плоскости

ОПР. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Т. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Сл.1 Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Сл.2 Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.