Упражнения и задачи

Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями:

1)

2)

3)

4)

5)

Контрольная работа №2 по теме “Комплексные числа”

I вариант

1) Вычислите:

а) (2 + 5 i)³; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнение: а) ; б) .

5) Пусть , где . Докажите, что w – чисто мнимое тогда и только тогда, когда .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

8) Найдите сумму:

.

II вариант

1) Вычислите:

а) ; б) .

2) При каких комплексных z выражения и одновременно имеют действительные значения?

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнение: а) ; б) .

5) Для каких целых n ?

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму:

.

III вариант

1) Вычислите:

а) б) .

2) При каких действительных x и y числа и будут комплексно сопряженными?

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнение: а) ; б) .

5) Вычислите z¹⁹⁷¹+ , если .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму:

.

IV вариант

1) Вычислите:

а) б) .

2) Найдите действительные значения x, при которых комплексные числа и являются сопряженными.

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнение: а) б) .

5) Вычислите z¹⁹⁷¹+ , если .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму:

.

V вариант

1) Вычислите:

а) ; б) .

2) При каких действительных х и у числа и будут комплексно сопряженными?

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) ; б) .

5) Докажите, что а) ; б) ; в) .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразить через .

8) Найдите сумму:

.

VI вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) ; б) .

5) Докажите, что а) ; б) ; в) .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму: .

VII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) ; б) .

5) Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и число , сопряженное числу , также корень этого многочлена. Докажите это.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму: .

VIII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) ; б) .

5) Если – действительные число, то , где . Докажите это.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму: .

IX вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) ; б) .

5) Докажите, что , если ,

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму: .

X вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите свойства модуля комплексного числа:

а) , б) .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

8) Найдите сумму: .

XI вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите свойства модуля комплексного числа:

а) , б) .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Найдите сумму: .

XII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что если комплексное число удовлетворяет соотношению , то наибольшее возможное значение его модуля равно .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

7) Выразите через .

8) Докажите, что .

XIII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Вычислите выражение , если есть корень уравнения .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через .

8) Докажите, что .

XIV вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Пусть . Докажите, что и тогда и только тогда, когда , где .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через .

8) Найдите сумму .

XV вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Пусть . Докажите, что и тогда и только тогда, когда , где .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через .

8) Докажите, что .

XVI вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение имеет разные корни.

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б)

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через .

8) Найдите сумму: .

XVII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Найдите все комплексные числа х и у такие, что числа x, 2x+y, 2x+y образуют арифметическую прогрессию, а числа образуют геометрическую прогрессию.

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б)

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Выясните, при каких условиях произведение двух комплексных чисел а)чисто мнимое число, б) вещественное число.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через .

8) Докажите, что .

XVIII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Найдите все числа, сопряженные своему квадрату

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через .

8) Докажите, что:

.

XIX вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Найдите все числа, сопряженные своему кубу.

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

8) Докажите, что:

.

XX вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему, считая, что x, y, z, t вещественные:

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Упростите выражение: .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

8) Докажите, что .

XXI вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему:

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите равенство: .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

8) Докажите, что .

XXII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что и комплексно сопряженные тогда и только тогда, когда + и – действительные числа.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и .

8) Найдите сумму: .

XXIII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите равенство: .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и .

8) Найдите сумму: .

XXIV вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что корни уравнения могут быть записаны в виде .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и .

8) Найдите сумму: .

XXV вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Найдите сумму p-x степеней корней уравнения , где p – целое.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и ..

8) Найдите сумму: .

XXVI вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему:

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что , если .

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и ..

8) Найдите сумму: .

XXVII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему:

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Где расположены точки на числовой плоскости, для которых (z – комплексное число)?

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и ..

8) Найдите сумму: .

XXVIII вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему:

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Найдите порядки всех корней из единицы 12 степени.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и .

8) Найдите сумму: .

XXIX вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите систему:

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Докажите, что если e – первообразный корень n-той степени из 1, то и – первообразный корень n-той степени из 1.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через и .

8) Найдите сумму: .

XXX вариант

1) Вычислите: а) ; б) .

2) Решите уравнение: .

3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б) .

4) Решите уравнения: а) , б) .

5) Найдите порядки всех корней из 1 степени 20.

6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

7) Выразите через .

8) Найдите сумму: .