Корни из 1

По формулам извлечения корней все п корней п -ой степени из 1 можно записать в виде:

т.е. все они являются степенями одного корня

Теорема. Множество всех корней из 1 образуют мультипликативную группу.

Доказательство: Пусть Тогда т.е. множество замкнуто относительно умножения, выполняется и аксиома ассоциативности (она выполняется для всех комплексных чисел, а, следовательно, и для корней из 1). Так как то это множество содержит нейтральный элемент относительно умножения. Ясно, что если то также, т.е. для любого элемента из элемент тоже принадлежит этому множеству. ■

Теорема. Множество всех корней п -ой степени из 1 образуют конечную мультипликативную группу.

Доказывается аналогично предыдущей теореме. ■

Пример. Найти все корни третьей степени из 1.

Решение: Поэтому

Все корни п -ой степени из 1 изображаются точками, лежащими на окружности радиуса 1 с центром в О и делящими эту окружность на п равных частей.

Пример. Доказать тождество

Доказательство: Это уравнение имеет корней, корней из 1, т.е. его корни:

Пример. Найти сумму всех корней п -ой степени из 1.

Решение: Пусть Тогда все корни п -ой степени из 1 можно представить в виде Отсюда сумма всех корней равна

Ответ: 0.

Пример. Найти произведение всех корней п -ой степени из 1.

Решение: Разобьем все сомножители, отличные от 1 и -1, на пары взаимно обратных чисел. Произведение чисел каждой пары равно 1. Если п четно, то все произведение равно 1, а если п нечетно, то -1.

Ответ: