Извлечение корня из комплексного числа

Число называется корнем п-ой степени из комплексного числа z, если Например, числа - i, i являются корнями второй степени из числа -1, так как Если z = 0, то – единственный корень п -ой степени.

Теорема. Для любого комплексного числа существует ровно п корней п -ой степени, которые определяются по формуле:

Доказательство: Пусть Тогда

Отсюда

Возведя обе части каждого равенства в квадрат и сложив полученные равенства, получим:

(арифметический корень).

Из условия имеем

т.е.

■

Для k = 0, 1, 2, 3,..., п -1 получаются различные значения чисел а для каждого из остальных значений будет получаться одно из этих чисел.

Отсюда следует, что все числа имеют равные модули но различные главные аргументы, отличающиеся друг от друга на величину Числа , следовательно, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного п -угольника, вписанного в круг радиуса с центром в начале координат.

Пример. Найти все корни четвертой степени из числа 16 i.

Решение: Поскольку то применяя формулу для извлечения корней, получаем

Следовательно,

Пример. Вычислить

Решение: Пусть Тогда т.е. Если то Если то

Ответ: