Решение сравнений

Пусть – многочлен с целыми коэффициентами. Решить сравнение – это значит найти все значения переменной х, удовлетворяющие этому сравнению.

Если сравнению удовлетворяет какое-либо значение переменной х, то этому сравнению удовлетворяют и все числа, сравнимые с по модулю т, т.е. все числа, составляющие один класс вычетов по модулю т, которому принадлежит . Договоримся считать, что каждый класс образует одно решение. Следовательно, решить сравнение – значит найти все классы чисел, удовлетворяющих сравнению.

Пример1. Путем испытания наименьших неотрицательных вычетов найти решения сравнения

Решение:

Ответ: решениями сравнения являются все числа вида и

Пример2. Решить сравнение

Решение:

х

Ответ: 11.

Другое решение основано на использовании теоремы Эйлера:

Можно к обеим частям сравнения прибавить число 15. Тогда .

Пример. Решить сравнение .

Решение: После сокращения на 5 получим . Сравнение имеет следующие решения: ,

.

Пример. Решить систему сравнений

Решение системы сводится к решению каждой из трех систем:

В первой системе , , .

Аналогично, решая остальные системы, получим ответ: или или .

Пример. Решить систему сравнений

Решение: , .

Ответ: .