Упражнения и задачи. 1) Доказать, что для любых вещественных х и у

1) Доказать, что для любых вещественных х и у.

2) При каком положительном целом

3) Найти показатель степени числа 3 в каноническом представлении числа 100!.

4) Сколькими нулями оканчивается число 100!?

5) Разложить на простые множители 15!.

6) Найти количество целых положительных чисел, не превосходящих 2311 и взаимно простых с числами 5, 7, 12.

7) Решить систему уравнений

Функция Эйлера

Функция Эйлера определена для всех натуральных а и представляет собой количество натуральных чисел, взаимно простых с а и не превосходящих а, Считаем, что

Примеры.

Теорема. Если каноническое представление натурального числа имеет вид:

то

Доказательство: Применим метод включения и исключения:

Раскрыв скобки в произведении, мы получим эту же сумму. Отсюда следует утверждение теоремы. ■