Целая часть числа

Функция определена для всех вещественных значений х и представляет собой наибольшее целое, не превосходящее х. Эта функция называется целой частью х, антье от х. Разность называется дробной частью х и обозначается

Пример.

Теорема. Показатель, с которым простое число p входит в n! равен

Доказательство: Сомножителей, кратных p, в произведении равно Среди них, кратных равно ■

Задача. Найти количество чисел, взаимно простых с 3, 5 и 7, среди первой тысячи чисел натурального ряда.

Решение: Вычтем из 1000 количество чисел, делящихся на 3, т.е. затем вычтем количество чисел, делящихся на 5 и на 7, получим

Это не ответ, так как допущен двойной счет, а именно, числа делящиеся одновременно на 3 и 5 или 3 и 7 или 5 и 7 здесь учтены дважды. Для исправления полученной ошибки прибавим Полученная сумма вновь не может быть ответом, так как числа, которые делятся на все три числа 3, 5 и 7, мы три раза вычитали, а затем три раза прибавили. Исправив эту ошибку, мы получим ответ:

Замечание: При решении задачи применен метод включения и исключения.