Комплексные числа. Комплексным числом zназывается выражение , где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

Комплексным числом z называется выражение , где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

Число x – действительная часть числа z (x = Re z), а y – мнимая часть (y = Im z).

Если x =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если y = Im z = 0, то число z будет действительным.

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

Числа и называются комплексно – сопряженными.

Числа и называются равными, если

Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Показательная форма записи комплексного числа:

где – формула Эйлера