Москва 2005

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

Комплексные числа

(решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2005

Составитель: к.ф.м.н., доцент Выборнов А.Н..

В пособии кратко приведены основные теоретические сведения по теме «комплексные числа» (не заменяют лекционный материал или материал учебника), разобраны некоторые задачи. Пособие составлено на основе пособия МГУПИ для заочного отделения (авторы: Баланкина Е.С., Головешкин В.А., Каримова Н.А., Меренкова Т.В., Соркина Л.И., Якобовская И.М.). Пособие может использоваться как дополнительное пособие по развитию навыков решения задач.

В алгебраической форме комплексное число z представляется в виде

, где - действительная часть, - мнимая часть, число - мнимая единица, обладающая свойством .

Комплексные числа удобно представлять точками на плоскости по правилу: комплексному числу соответствует точка . Получается взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и всеми комплексными числами. Действительные числа при этом образуют ось абсцисс, поэтому ее называют действительной осью на комплексной плоскости, ось ординат называют мнимой осью – она состоит из комплексных чисел с нулевой действительной частью.

Два комплексных числа и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. То есть

.

Операции сложения (вычитания) для комплексных чисел определены следующим образом: , то есть отдельно складываются (вычитаются) действительные и мнимые части.

Любое действительное число может рассматриваться как комплексное, если отождествить и .

Операция умножения проводится по следующей схеме

Так как , то

Если комплексное число z равно , то комплексно сопряженным называется число, обозначаемое , где . Заметим, что .

Деление комплексных чисел осуществляется по следующей схеме

(числитель и знаменатель умножают на сопряженное к знаменателю):

Пример. Вычислить , , , если , .

Решение. = .

=

=

= .

Пример. Вычислить , , , если ,

=

=

=

=