П.2.3. Умножение комплексных чисел

Произведением к омплексных чисел z1 =х1 +iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2). (2.3)

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i 2 =- 1. (2.4)

Действительно, i2=ii=(0+1 i)(0+1i)=(0-1)+i(0+0)=-1. Благодаря соотношению (2.4) формула (2.3) получается формально путем перемножения двучленов x1+ iy1 и х2+iy2:

(х1 +iy1)(x2+iy2) =x1x 2 +x1 iy2+i у1 х2+iy1iy 2 =x1 x2 +i2y1 y2+i (x1 y2+y1 x2)=x1 x2-y1 y2+i(x1 y2+y1x 2).

Например,

(2-3i)(- 5+4i)=-10+8i+15i-12i2=-10+23i+12=2+23i.

Заметим, что z*z=(х+iy)(x-iy)=х2+у2 — действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

z1z2=z2z1

(z1z2)z3=z1(z2z3).

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

В этом легко убедиться, используя определение (2.3).

Найдем произведение комплексных чисел z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2), заданных в тригонометрической форме:

z1z2=r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2+isinφ2)=

r1r2(cosφ1cosφ2+isinφ1cosφ2+rcosφ1siπφ2-sinφ1sinφφ2)=

=r1r2((cosφ1cosφ2-siπφ1sinφ2)+i(sinφ1cosφ2+cosφ1 sinφ2))=

=r1r2(cos(φ1+φ2)+i sin(φ1+φ2)),

т. е.

z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то

zn=(r(cosφ+isinφ))n=rn(cosnφ+isinnφ). (2.5)

Формула (2.5) называется формулой Муавра.

П.2.4.Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z₁ и z₂≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z₂, дает число z₁, т. е. z₁/z₂=z, если z₂z=z_1.

Если положить z₁=x₁+iy₁; z₂=х₂+iy₂≠0, z=х+iy, то из равенства (х₂+iy₂)(x+iy)=x₁+iy₁ следует

Решая систему, найдем значения х и у:

Таким образом,

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).