П.1.2.Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z=x+ i y можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+ i y (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0 i =х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+ i y.

Комплексное число z=х+ i y можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).

П.1.3.Формы записи комплексных чисел

Запись числа z в виде z=х+ i y называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент φ комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора r=ОМ, изображающего комплексное числоz=х+ i y (см. рис. 162). Тогда получаем х=rcosφ, у=rsinφ. Следовательно, комплексное число z=х+ i y можно записать в виде z=rcosφ+irsinφ или z=r(cosφ+ i sinφ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Например, |i|=Ö(0²+1²)=1. Аргумент φ определяется из формул

Так как

φ=Argz=argz+2kπ,

то

cosφ=cos(argz+2kπ)=cos(argz), sinφ=sin(argz).

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать φ=argz.

Так как -π<argz≤ π, то из формулы tgφ=у/х получаем,что

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно (см. рис. 163). Например, argz₁=0 для z₁=2; argz₂=π

для z₂=-3; arg z₃=p/2 для z₃=i и arg z₄=-p/2 для z₄=-8i.

Используя формулу Эйлера

е^iφ=cosφ+isinφ, комплексное число z=r(cosφ+isiπφ) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=rе^iφ, где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол φ=Argz=argz+2kp (k=0,-1,1,-2,2...).

В силу формулы Эйлера, функция е^iφ периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать φ=argz.

§ 2.Действия над комплексными числами

П.2.1.Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂). (2.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

• z₁+z₂=z₂+z₁
• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃).

Из определения (2.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|. Это соотношение называется неравенством треугольника.