Необхідні й достатні умови з погляду логіки

Поняття необхідних і достатніх умов ми введемо за допомогою такого означення:

Означення. Якщо імплікація є істинним висловленням, то твердження Р(х) називають достатньою умовою для істинності твердження Q(х), а твердженняQ (х) — необхідною умовою для істинності твердження Р(х).

З погляду математичної логіки наведене означення показує, що коли, взагалі кажучи, якийсь предикат В(х) є логічним наслідком предиката А(х), то предикат А(х) є достатньою умовою для предиката В(х), а предикат В(х) водночас є необхідною умовою для предиката А(х).

Розглянемо конкретний приклад. Нехай на множині М = {1, 2, 3, 8, 12, 13, 16, 17, 24} дано предикати А(х) = Число х ділиться на 8 і В(х) = Остання цифра числа х парна. Оскільки твердження А(х) В(х) = Якщо число х ділиться на 8, то остання цифра його парна, на даній множині М істинне при будь-якому х М тобто = 1, то звідси випливає, що умова В(х) є необхідною для А (х), а А (х) є достатньою умовою для В(х), тобто парність останньої цифри числа, яке належить даній множині М, є необхідною умовою для подільності цього числа на 8, а подільність числа на 8 є достатньою умовою для парності останньої цифри цього числа.

Побудуємо тепер речення з логічною структурою А(х) В(х). При даних А(х) і В(х) ця формула не є істинною при всіх х М, тобто бо хоча число 12 і має останню цифру парну, проте 12 не ділиться на 8. Отже, за означенням умова парності останньої цифри числа, яке належить даній множині М, не є достатньою для подільності цього числа на 8, а подільність числа на 8 не є необхідною умовою для парності останньої цифри цього числа.

Нехай потрібно з'ясувати, чи є твердження Р (х) достатньою умовою для Q(х) (твердження Р(х) і Q(х) дані на деякій конкретній множині М). Для розв'язання такої вправи досить за означенням достатньої умови припустити, що твердження Р(х) істинне і дослідити, чи випливає з цього істинність твердження Q(х); якщо так, то Р(х) є достатньою умовою для Q(х), в противному разі — ні. Це дослідження проводиться досить просто, оскільки Р(х) і Q(х) — конкретні математичні речення (а не загальні, як у випадку дослідження формул на логічний наслідок), причому пов'язані між собою конкретним змістом.

Наприклад, нехай дано два твердження на множині N: х < 10 і х < 15. Потрібно з'ясувати, чи буде перше з них достатньою умовою для істинності другого. Припускаємо, що речення х < 10 істинне на N, тобто замість х мислено підставляємо лише його значення з області істинності предиката х < 10, тобто х {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; оскільки всі натуральні числа, які менші від 10, менші й від 15, то звідси випливає істинність речення х < 15. Отже, перше речення є достатньою умовою для істинності другого (імплікація - для довільного натурального числа х з істинності х < 10 випливає істинність х < 15 є істинним твердженням).

З'ясуємо тепер, чи буде друге речення достатньою умовою для істинності першого. Нехай істинним є твердження х < 15. Це означає, що х {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Треба дізнатися, чи буде при цих значеннях х істинним перше речення х < 10. Бачимо, що при х {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} це речення також істинне, але при х {10, 11, 12, 13, 14} воно —хибне. А це означає, що висловлення. Для довільного натурального числа х з істинності х < 15 випливає істинність х < 10 є хибним, тому друге речення не є достатньою умовою для істинності першого твердження. Іншими словами це можна виразити так: виконання нерівності х < 15, недостатнє для виконання нерівності х < 10.

Припустимо тепер, що твердження Q(х) є необхідною умовою для істинності речення Р(х). Це за наведеним вище означенням показує, що де М — область визначення предикатів Р(х) і Q(х). Але формула на основі закону контрапозиції рівносильна формулі , внаслідок чого з істинності твердження випливає істинність висловлення . Це означає, що в даному випадку заперечення речення Q(х), тобто твердження , є достатньою умовою для істинності твердження . На основі сказаного вище можна зробити такий висновок: твердження Q(х) є необхідною умовою для твердження Р(х), якщо з невиконання (тобто з хибності) твердження Q(х) випливає невиконання (хибність) речення Р(х). Звідси випливає така методика дослідження твердження Q(х) на необхідність: досить заперечити це твердження (тобто утворити твердження ) і дослідити, чи випливає з цього заперечення хибність речення Р(х): якщо випливає, то умова Q(х) є необхідною для істинності твердження Р(х); в противному разі — ні.

Приклад. З'ясувати, яке з двох заданих тверджень на множині N, х ділиться на 15 і х ділиться на 5 є необхідною чи достатньою умовою для істинності другого.

а) Припустимо, що істинним є речення х ділиться на 15. Оскільки з подільності числа на 15 випливає подільність його на 3 і на 5, то речення х ділиться на 5 є наслідком з першого. Таким чином, перше речення є достатньою умовою для істинності другого.

б) Припустимо, що натуральне число х ділиться на 5. Оскільки не кожне число, яке ділиться на 5 (наприклад, 5, 10, 20, 100 і т. д.), одночасно ділиться на 3, то звідси випливає, що речення х ділиться на 15 не є наслідком з речення х ділиться на 5. Отже, друге речення не є достатньою умовою для істинності першого.

в) 3 того, що перше речення є достатньою умовою для істинності другого (це досліджено в пункті а), на основі означення необхідних та достатніх умов випливає, що друге речення одночасно є необхідною умовою для істинності першого. Обґрунтуємо цей факт. Нехай істинним є твердження х не ділиться на 5, тобто заперечення другого речення. Оскільки з неподільності натурального числа на 5 випливає, що воно тим більше не ділиться на 15 (тобто з хибності другого речення випливає хибність першого), то друге речення є необхідною умовою для істинності першого.

г) Якщо істинним є твердження х не ділиться на 15, то з нього не випливає, що будь-яке натуральне число не ділиться на 5 (бо, наприклад, числа 5, 10, 100 і т. д. хоча й не діляться на 15, проте кожне з них ділиться на 5), то перше твердження не є необхідною умовою для істинності другого. Зауважимо, що до такого висновку ми могли прийти зразу ж після обґрунтування пункту б.

Користуючись символікою математичної логіки й означенням необхідних і достатніх умов, той факт, що твердження А(х) є достатньою умовою для істинності твердження В(х), або що умова В(х) є необхідною для істинності речення А(х) (ще раз наголошуємо на тому, що тут А(х) і В(х) — конкретні предикати, дані на множині М і пов'язані між собою змістом), можна записати так: .

Якщо В (х) є необхідною умовою для істинності А(х), але недостатньою для істинності цього твердження, то

Останній запис рівносильний також твердженню, що А(х) — достатня умова для істинності В (х), але не необхідна. Якщо ж умова В(х) достатня для істинності А(х) і одночасно необхідна, то: (1)

або, за відповідним законом логіки: . (2)

У таких випадках твердження А(х) також є необхідною і достатньою умовою для істинності твердження В(х). Теореми цього виду в математиці формулюють так: А(х) необхідне і достатнє, щоб В(х) або А(х) тоді і тільки тоді, коли В(х), або А(х), якщо і тільки якщо В(х) і т. д. Формули (1) і (2) показують, що в таких випадках одночасно будуть істинними як пряма, так і обернена теореми. Треба довести теорему виду (2). Тут потрібно доводити достатність і необхідність. Припустимо, що доводимо достатність. Що тоді нам дано? Учні, як правило, відповідають так: оскільки тут А(х) є необхідною і достатньою умовою для істинності В(х), а В(х) є необхідною і достатньою умовою для істинності А(х), то відмінності у виборі даних немає. З погляду логіки такі міркування не зовсім коректні, бо ми лише сформулювали теорему, але ще не довели. На це потрібно звертати увагу учнів, наголошуючи на тому, що при словесному формулюванні теореми (2) у вигляді Для того, щоб виконувалось твердження А(х), необхідно і достатньо, щоб істинним було твердження В(х) спочатку йде мова про висновок теореми, а потім — про умови його виконання. Таким чином, при доведенні достатності логічно вважати заданим твердження В(х), а доводити істинність твердження А(х); при обґрунтуванні необхідності потрібно вважати заданим твердження А(х), а доводити істинність В(х). Чітке розуміння цього логічного матеріалу допоможе багатьом учням уникнути логічних помилок у процесі доведення теореми виду (2) (коли вони ставлять за мету довести необхідність, а доводять, по суті, достатність і навпаки).

Для прикладу доведемо таку теорему.

Для того щоб існувала різниця двох натуральних чисел а, b, необхідно і достатньо, щоб виконувалась нерівність а > b.

Ця теорема має таку логічну структуру:

Доведемо цю теорему.

Достатність. Нехай а > b. За означенням відношення «>» маємо, що . Згідно з означенням різниці натуральних чисел с = а — b, тобто (а — b) N.

Необхідність. Нехай різниця а — b натуральних І чисел a, b існує, тобто (а — b) N. За означенням різниці натуральних чисел маємо, що a = b + (а — b). На основі означення відношення > робимо висновок, що а > b.

Теорему доведено.

Аналізуючи поняття теореми в шкільній математиці й поняття необхідних та достатніх умов, приходимо до висновку, що коли твердження ( x) (А(х) В(х)) — теорема (істинне висловлення), то умова теореми (речення А(х)) є достатньою умовою для істинності її висновку (твердження В(х)), а висновок теореми є необхідною умовою для істинності її умови, тобто всі ці поняття взаємозв'язані. Зауважимо, що правильність теореми ( x)(А(х) В(х)), тобто наявність зв'язку А(х) є достатньою умовою для В(х), а В(х) є необхідною умовою для А(х), ще не гарантує істинності висновку В(х); тільки одночасна істинність цієї теореми і її умови А(х) гарантують істинність висновку В(х), що випливає з відомого нам правила логічного виведення — правила висновку.

Щоб спростувати теорему, тобто показати, що умовне речення Якщо А(х), то В(х) не є теоремою, оскільки набуває значення 1 (істина) не для всіх об'єктів, відносно яких воно сформульоване, достатньо переконатись в існуванні принаймні одного об'єкта, для якого умова А(х) виконується (є істинною), а висновок В(х) не виконується. Це випливає з відомих нам законів логіки:

Цілком зрозуміло, що коли умовне речення А(х) В(х) істинне не при всіх значеннях х з даної множини, то А(х) не є достатньою умовою для В(х), а В(х) не є необхідною умовою для А(х).

Правильне розуміння суті необхідних і достатніх умов дає можливість правильно розуміти зміст різних формулювань однієї і тієї самої теореми. Зауважимо, що одну й ту саму теорему можна сформулювати по-різному, залежно від того, яку саме особливість її потрібно підкреслити при формулюванні. Звичайно, всі можливі варіанти словесного формулювання однієї й тієї самої теореми мають один і той самий логічний зміст. Наприклад, якщо якусь теорему записано в загальній формі А(х) В(х), то словесно її можна сформулювати так:

1) Якщо істинне твердження А(х), то істинне й твердження В(х).

2) 3 істинності твердження А(х) випливає істинність твердження В(х).

3) Твердження В(х) є необхідною умовою для істинності А(х).

4) Твердження В(х) є наслідком з твердження А(х).

5) Твердження А(х) є достатньою умовою для істинності В(х).

6) Твердження В(х) істинне завжди, коли істинне твердження А(х).

7) Твердження А(х) істинне тільки тоді, коли істинне В(х).

8) Якщо твердження В(х) хибне, то й А(х) також хибне.

9) Неможливі одночасна істинність твердження А(х) і хибність твердження В(х).

10) Множина об'єктів, для яких істинне твердження А(х), є підмножиною множини об'єктів, для яких істинне твердження В(х), і т. д.

Кожний з наведених варіантів формулювання теореми характеризує певну її особливість: умовний характер; відношення логічного слідування між її умовою та висновком; достатність умови для істинності висновку; необхідність висновку для істинності умови теореми; відношення областей істинності, тобто обсягів понять А(х) і В(х), і т. д.

У кожному з варіантів формулювань один з логічних термінів: якщо, то, випливає, є наслідком, достатньо, необхідно» тоді й тільки тоді, коли, або відповідний його синонім. Але на практиці дуже часто теореми формулюють без перелічених логічних термінів, щоб формулювання було коротшим.