Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Типи теоремСтр 1 из 2Следующая ⇒ Ще у школі ми зустрічалися з різними видами теорем: пряма, обернена, протилежна, протилежна до оберненої. Розглянемо їх з точки зору математичної логіки. З'ясуємо логічну суть цих термінів. Якщо пряме твердження мовою логіки записати у вигляді формули (1) то твердження (2) називають оберненим до (1); твердження (3) протилежним до (1), а твердження (4) протилежним твердженню, оберненому до (1). Інтуїтивно зрозуміло, що речення (1) — (4) не завжди одночасно істинні, тобто не завжди є правильними теоремами. Теорема 1(Пряма): за допомогую символів математичної логіки її можна записати так: ( х є N) (Р (х) Q(х)) Приклад: Якщо сума цифр числа ділится на 3, то і число ділиться на 3. х є N – теорема справедлива для всіх натуральних чисел. Р (х) – умова теореми: „Сума цифр числа х: 3”. Q(х) - висновок теореми: „Число х ділиться на 3 ”. Поміняємо місцями умову і висновок без зміни пояснювальної частини одержимо обернену теорему. Теорема 2 (Обернена ): за допомогую символів матлогіки вона записується так ( х є N) (Q (х) Р (х)) Приклад: Якщо число ділиться на 3, то сума цифр цього числа ділиться на 3. Якщо в прямій теоремі умову і висновок замінити їх запереченням, то одержимо теорему протилежну до прямої. Теорема 3 (Протилежна ): за допомогою символів матлогіки її можна записати так: ( х є N ) ( ) Приклад: Якщо сума цифр даного числа не ділится на 3, то число не ділиться на 3. Якщо в оберненій теоремі умову і висновок замінити їх запереченнями, то одержимо теорему протилежну до оберненої. Теорема 4 (Протилежна до оберненої): символічно вона записуєтся так: ( х є N) ( ) Приклад: Якщо число не ділиться на 3, то й сума цифр цього числа не ділиться на 3. Теорема 5. З істинності прямої теореми не випливає істинність оберненої до неї теореми. Доведення. Для доведення цього твердження достатньо за означенням логічного наслідку показати, що формула не є загальнозначущою на довільній множині М. Справді, якби це було не так, то для довільного фіксованого елемента а М висловлення було б істинним, а це не правильно, бо: оскільки при Р (а) = 0 і Q (а) = 1 ця формула хибна. Теорему доведено. Обґрунтований факт показує, що коли ми спромоглися довести пряму теорему, то про істинність оберненої донеї теоремими нічого конкретного не можемо сказати: вона може бути водних випадках істинною, в інших — хибною. Звідси випливає, що в кожному конкретному випадку, коли требадослідити обернену до даної теореми, її формулюють, апотім доводять чи спростовують. Теорема 6. Пряма теорема і обернена до протилежної є рівносильними між собою твердженнями. Доведення. Для обґрунтування цього факту нам, по суті, потрібно показати, що . У даному випадку це зробити дуже просто. Справді, оскільки і при будь-якому х М, то Цей висновок дає змогу з істинності одного твердження автоматично робити висновок про істинність другого твердження. У логіці цей факт відомий під назвою закону контрапозиції: Теорему доведено. Через те, що будь-яку з теорем (1) — (4) можна назвати прямою, то з теорем 5 і 6 випливають такі наслідки: 1) 3 істинності оберненої теореми не випливає істинність відповідної їй прямої теореми. 2) Протилежна прямій теорема і обернена до прямої теорема — рівносильні між собою математичні речення. 3) 3 істинності протилежної прямій теореми не випливає істинність протилежної до оберненої теореми. Теореми умовно поділяють на прості і складені. Теорема вважається простою, коли обидва предикати Р(х) і Q(x) є елементарними. В усіх інших випадках теорема вважається складною. Інколи доведення складної теореми можна замінити доведенням кількох, взагалі кажучи, простих теорем.
|