Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Формула Муавра





 

Для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если 1, 2, ..., n – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Найдем квадрат комплексного числа z = r(cos + i sin ), т.е. результат произведения этого числа на само себя: z2 = z∙z = r(cos + i sin )∙r(cos + i sin ) = r2(cos + i sin )2 = r2(cos 2 + i sin 2 ).

Повторяя n раз операцию возведения в степень числа z, мы получим формулу n-ой степени числа z:

zn = rn(cos n + i sin n ),где n – натуральное число.

Методом математической индукции можно доказать эту формулу. Она представляет собой обобщение формулы, открытой Муавром. Муавр открыл ее для случая, когда модуль комплексного числа z равен 1. Формула Муавра имеет вид:(cos + i sin )n = cos n + i sin n , где n N.

С помощью формулы Муавра можно вывести многие полезные соотношения, в частности, между тригонометрическими выражениями.

Формула Муавра позволяет найти значения корней любой (n-й) степени в поле комплексных чисел.

Под корнем n-й степени из числа z понимают такое число a, n-я степень которого равна z: an = z.

 

Первая формула Муавра:

 

Пример.Вычислить z4, если z = 1- i.

 

Решение: Как было найдено в примере п.2. §3, данное число в тригонометрической форме имеет вид

По первой формуле Муавра получаем:

 

Число z называется корнем степени n, n N из комплексного числа w, если zn = w. Корень степени n обозначается z= . Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения zn = w.

Если w = 0, то у уравнения zn=0существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r0(cos 0 + i sin 0), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos + i sin ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем: zn = w, rn(cos n + i sin n )= r0(cos 0 + i sin 0), где откуда получается:

Итак, все решения уравнения zn = w задаются формулой

 

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, ..., n-1 мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения zn = w и все они задаются одной формулой.

 

Вторая формула Муавра:

 

Пример. Найти .

Решение: Представим число –1 в тригонометрической форме:

По второй формуле Муавра получаем:

Получаем последовательно:

 

 








Date: 2015-07-02; view: 868; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.009 sec.) - Пожаловаться на публикацию