Операции над комплексными числами и их свойства

С учётом замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Пусть заданы два комплексных числа z₁ = a + bi и z₂ = c + di.

1) Сравнение. z₁ = z₂ или a + bi = c + di означает, что a = c и b = d

(два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

2) Сложение. z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

· Коммутативность сложения: z₁ + z₂ = z₂ + z₁ для любых z₁ , z₂ С.

Док-во: По определению сложения получаем

z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

z₂ + z₁ = (c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b)i = (a + c) + (b + d)i = z₁ + z₂.

так как с + a = a + с, d + b = b + d, т. е. для любых действительных чисел выполняется переместительное (коммутативное) свойство сложения.▄

· Ассоциативность сложения: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃) для любых z₁ , z₂ С.

· Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z + 0 = z, для любого z С.

3) Вычитание.

Для любых двух чисел z₁ и z₂ существует такое число z, что z₁+ z = z₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z₂ – z₁.

z₁ - z₂ = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

4) Умножение.

Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства , то и перемножать эти числа можно как многочлены.

· Коммутативность умножения: z₁ z₂ = z₂ z₁ для любых z₁ , z₂ С.

Док-во: z₁ z₂ = (a + bi)(c + di) = aс + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i,

z₂ z₁ = (c + di) (a + bi) = сa + cbi + dai + dbi² = (ca - db) + (cb + da)i = (ac - bd) + (ad + bc)i = z₁ z₂,

поскольку для любых действительных чисел ac = ca, bd = db, т. е. выполняется переместительное (коммутативное) свойство умножения.▄

· Ассоциативность умножения: (z₁ z₂)z₃ = z₁(z₂z₃) для любых z₁ , z₂, z₃ С.

· Дистрибутивность сложения относительно умножения: z₁(z₂ + z₃) = z₁ z₂ + z₁z₃ для любых z₁ , z₂, z₃ С.

· Для любого комплексного числа z: z · 1 = z

5) Деление.

Для любых двух чисел z₁ и z₂ существует такое число z, что z₁∙ z = z_2. Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается . Деление на 0 невозможно.

Пример. Вычислить z₁ + z₂ и z₁z₂, где z₁ = 1 + 2i и z₂ = 2 – i.

Решение:

Пример. Пусть , .

Решение: Тогда:

Пример. Вычислить .

Решение:

Если число z = a + bi, то число = a - bi называется комплексно сопряжённым с числом z.

Комплексно сопряжённое число обозначается . Для этого числа справедливы соотношения:

1)

2)

3)

4) сумма и произведение двух комплексных сопряженных чисел есть числа действительные.

5) (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

6)

7)

8)

Пример. Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).

Решение: Имеем Следовательно,

Пример. Вычислите

Решение:

Приведем классификацию комплексных чисел: