Теорема Эйлера. Поперечный метацентр и метацентрический радиус

Изучая начальную остойчивость, рассматривают такие наклонения судна, при которых его водоизмещение остается постоянным, а меняется лишь форма погруженного в воду корпуса. Наклонения, при которых водоизмещение судна (или его подводный объем) остается постоянным, называются равнообъемными. Ватерлинии, соответствующие равнообъемным наклонениям, называются равнообъемными ватерлиниями. Линия пересечения двух равнообъемных ватерлиний, которая на рис. III.1 проецируется в точку О, называется осью равнообъемного наклонения. Равнообъемные ватерлинии характеризуются свойством, которое можно сформулировать следующим образом: ось бесконечно малого равнообъемного наклонения проходит через центр тяжести площади ватерлинии или две последовательные равнообъемные ватерлинии пересекаются по прямой, проходящей через их общий центр тяжести.

Приведенная формулировка представляет собой известную теорему Л. Эйлера, который первый доказал указанное свойство равнообъемных ватерлиний.

Рассмотрим равнообъемное поперечное наклонение судна. Будем считать, что в исходном положении судно имеет прямую посадку. В этом случае сила поддержания D' действует в диаметральной плоскости и приложена в точке С — центре величины судна. Допустим, что судно под действием кренящего момента получило поперечное наклонение на малый угол 0 (рис. II 1.1). Тогда центр величины переместится из точки С в точку С1 и сила поддержания, перпендикулярная новой действующей ватерлинии В1Л1, будет направлена под углом θ к диаметральной плоскости. Линии действия первоначального и нового направлений силы поддержания пересекутся в точке m. Эта точка пересечения линий действия силы поддержания при бесконечно малом равнообъемном наклонении плавающего судна называется поперечным метацентром. Центр величины при равнообъемных наклонениях перемещается по линии, которую называют траекторией центра величины. Проекция траектории на плоскость, перпендикулярную оси вращения, называется кривой С. Эта кривая в общем случае будет иметь переменную кривизну, поэтому каждому положению точки С на этой траектории будет соответствовать определенный мгновенный центр кривизны. Отсюда можно дать другое определение поперечному метацентру: центр кривизны кривой перемещения центра величины в поперечной плоскости называется поперечным метацентром. При изучении начальной поперечной остойчивости делают допущение, что в пределах малых углов крена поперечный метацентр сохраняет свое положение неизменным. Предел малого угла крена, до которого сделанное допущение справедливо, зависит от формы погруженной в воду части корпуса.

Радиус кривизны кривой перемещения центра величины в поперечной плоскости называется поперечным метацентрическим радиусом (или малым метацентрическим радиусом). Он определя-ется расстоянием от поперечного метацентра до центра величины С и обозначается буквой г. Принимая указанное выше допущение о постоянстве положения поперечного метацентра, можно считать, что значение поперечного метацентрического радиуса в пределах малых углов крена остается неизменным. Поперечный метацентрический радиус может быть вычислен с помощью формулы

(III.1)

т. е. поперечный метацентрический радиус г равен моменту инерции J_X площади ватерлинии относительно продольной оси, проходящей через центр тяжести этой площади, деленному на соответствующее этой ватерлинии объемное водоизмещение V. Напомним, что моментом инерции площади относительно оси называется сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояния от их центра тяжести до оси. Момент инерции площади относительно оси, проходящей через ее центр тяжести, называется собственным моментом инерции площади, или моментом инерции площади относительно центральной оси.

Для того чтобы легко и быстро определить значения аппликаты поперечного метацентра zm и поперечного метацентрического радиуса г при любых осадке и водоизмещении судна, составляют особую диаграмму, которая называется метацентрической диаграммой (рис. III.2). При построении этой диаграммы используют значения аппликат центра величины zс и поперечных метацентриче ских радиусов г, вычисленных для нескольких осадок судна. Поперечный метацентрический радиус определяют по метацентрической диаграмме в следующем порядке.

На вертикальной оси откладывают осадку Т (рис. III 2, а), проводят горизонтальную линию до пересечения со вспомогательной прямой и через точку пересечения К проводят вертикаль. Отрезок на вертикали, равный расстоянию от горизонтальной оси (основной линии) до кривой zc, дает значение аппликаты центра величины zC, а отрезок, равный отстоянию от горизонтальной оси до кривой zm — значение аппликаты поперечного метацентра zm. Поперечный метацентрический радиус определяют как разность аппликат zm и zc, т. е. г = zm — zc.

На рис. II 1.2, б приведен другой вид метацентрической диаграммы, которая отличается от описанной выше отсутствием вспомогательной наклонной прямой и расположением масштабных осей. Метацентрический радиус г при помощи этой метацентрической диаграммы определяют в такой последовательности. На вертикальной оси откладывают осадку Т, проводят горизонтальную линию, соответствующую данной осадке, до пересечения ее с кривыми zc и zm и замеряют расстояние от точекпересечения, т. е. точек С и m, до вертикальной оси. Эти расстояния в выбранном масштабе определяют значения аппликат zm и zC. Поперечный метацентрический радиус вычисляют как разность аппликат zm и zC.

Существуют и другие типы метацентрических диаграмм. От диаграмм, приведенных на рис. III.2, они отличаются только тем, что кроме кривых z_m и z_C на них наносятся кривые водоизмещения D и V, которые часто принимаются за упомянутые выше вспомогательные линии, необходимые при определении метацентрического радиуса г.