Вычеты в особых точках

Пусть а – изолированная особая точка функции .

Теорема. Интегралы по всем простым контурам, окружающим особую точку, равны между собой.

Таким образом, интегралы по простым контурам, окружающим особую точку, являются характеристикой точки, а не контура.

Определение. Пусть G - любой простой контур, окружающий особую точку а. Величина

называется вычетом функции в точке а и обозначается символом .

Сравним это выражение с выражением для коэффициентов ряда Лорана функции :

.

Если взять n = – 1, то получим

,

и получается, что .

Итак: Вычетом функции в точке а называется величина , где интеграл берется по любому простому контуру, окружающему особую точку. Численно вычет равен коэффициенту в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки а.