Применение комплексных чисел

1. Вывод тригонометрических формул с помощью комплексных чисел.

2. Формула Эйлера.

3. Комплексные корни многочлена (многочлены в поле комплексных чисел): основная теорема алгебры многочленов и её следствия.

4. Теорема о комплексном корне многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена на множители. Обобщённая теорема Виета.

Задачи для зачёта.

1. Вычислите: а) i ; b)i ; c) –i ; d) –(i ) ; f) 3i ; g) i ; h) i ; i)i ; j)i .

2. Напишите числа, противоположные данным: а) –2+3i; b) 0,2 – i; c) –1 – 5i; d)3 + i .

3. Написать числа, сопряжённые данным: а) –5 – 3i; b) – i ; c) –0,5 + i; d)10 + 0,3i.

4. На основания условия равенства найти действительные x и у: –2 +5ix – 8iy = 11i + 6x – 2y.

5. Найти х из условия, что х i + (1 – 4i) действительное число.

6. Какое число нужно прибавить к числу 5 – i , чтобы оно стало мнимым?

7. Решить уравнение x – 6x + 13 = 0 и проверить свойство суммы и произведения его корней.

8. Выполнить действия:

(2 + i)+(–3+9i)	(–2–4i) - (2+2i)	(0,5–3i)–(0,8–10i)	(5+4i)–(8–3i)+(2–i)	(2- i)
–i ∙i	(1–i)(2+i)	(3–2i)(–2–3i)	(2+i)(2–i)	(3+2i)(–2-3i)

9. Разложить на множители: а) 5; b) х + у ; c) х + у.

10. В какой четверти комплексной плоскости расположены точки, изображающие числа:

a) 2 + 5i; b)– 2 + i; c) –3 –i; d)2 – 8i.

11. Как расположены на комплексной плоскости точки, изображающие числа 5 + bi (b – любое действительное число)?

12. Как расположены на комплексной плоскости точки, изображающие комплексные числа х+yi, у которых:

x + y = 4	x + y > 9
| х + уi| = 25	| х + уi|>1	| х + уi|< 0,3

13. Упростить 2i – 3i и дать геометрическое изображение получившегося числа.

14. Вычислить модули комплексных чисел: а) 12-i; b)–0,6 + 0,8i; c) – –i .

15. Вектор совпадает с положительным направлением оси ОХ. Как изменится положение вектора, если его умножить на –1, на i, на – i?

16. Представьте в тригонометрической форме числа:

а) 1 – i; b)– 1 + i; c) 1 + i; d) i; f) – i.

17. Выполнить действия и результат представить в тригонометрической форме:

4 + i

18. Где на комплексной плоскости располагаются точки, изображающие комплексные числа, аргументы которых равны 45 ; 134 ; ; 2 ?

19. Записать в алгебраической форме:

cos45 +isin45	10 (cos300 +isin300 )	3 (cos200 +isin200 )
2(cos2π+isin2π)	(cos135 +isin135 )	100(cos2+isin2)

20. Выполнить действия:

3 (cos45 +isin45 ) (cos15 +isin15 )	5 (cos2φ+isin2φ)2 (cosφ+isinφ)
6 (cos240 +isin240 ):(cos150 +isin150 )	(cos135 +isin135 ): ( (cos90 +isin90 ))
(cos10 +isin10 )
(2(cos72 +isin72 ))