Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Пусть z1 =r1⋅(cos j1+i⋅sin j1), z2 =r2⋅(cos j2+i⋅sin j2)⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 14 Пусть z1 =r1⋅(cos j1+i⋅sin j1), z2 =r2⋅(cos j2+i⋅sin j2). 1. Умножение z1z2= r1 r2⋅(cos j1+i⋅sin j1)⋅(cos j2+i⋅sin j2)= Таким образом, z1z2 = r1r2 (cos(j1 +j2)+i⋅sin (j1 +j2 )), т.е. при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. 2. Деление. Пусть z1 =r1⋅(cos j1+i⋅sin j1), z2 =r2⋅(cos j2+i⋅sin j2), причем z2¹0.
= (cos(j1 -j2)+i⋅sin (j1 -j2 )) Таким образом, (cos(j1 -j2)+i⋅sin (j1 -j2 )), т.е. при делении комплексных чисел в тригонометрической форме, их модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются. 3. Возведение в степень. Пусть z = r⋅(cos j+i⋅sin j) Тогда, по правилу умножения комплексных чисел, z2=z⋅z=r2(сos2j+i⋅sin2j) и т. д. Методом математической индукции можно доказать, что zn=rn (cos nj+i⋅sin nj), n ∈ℕ, (3) т.е. при возведении комплексного числа в натуральную степень n, его модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n. Определение 4. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число u, что un = z, и обозначается = u . 4. Извлечение корня n -й степени из комплексного числа z = r⋅(cos j+i⋅sin j), z . Будем искать u в тригонометрической форме, т.е. u=r0(cos j0+i⋅sinj0) такое, что un = z, т.е. (r0(cos j0+i⋅sinj0)) n = r⋅(cos j+i⋅sin j). Согласно правилу возведения в степень, получим r0n(cos nj0+i⋅sin nj0)= r⋅(cos j+i⋅sin j). Так как равные комплексные числа изображаются одной и той же точкой на плоскости, то из рисунка и определений 1 и 2 следует, что их модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь на 2p k, k ∈ℤ. , следовательно, При k=0 01 = При k=1 02 = При k =2 03 = *** При k = n -1 0 ( n-1) = +2 - При k = n 0 n = = +2 = 01 При k = n +1 0 ( n+1) = +2 + = 02 и т. д. Таким образом, = (cos + i⋅sin ), k = (5) Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n значений z 0, z 1, z 2,…, zn-1 которые на комплексной плоскости располагаются на окружности радиуса R = и делят окружность на n равных частей.
|