Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Пусть z1 =r1⋅(cos j1+i⋅sin j1), z2 =r2⋅(cos j2+i⋅sin j2)





Пусть z1 =r1⋅(cos j1+i⋅sin j1), z2 =r2⋅(cos j2+i⋅sin j2).

1. Умножение z1z2= r1 r2⋅(cos j1+i⋅sin j1)⋅(cos j2+i⋅sin j2)=
=r1r2 ((cos j1 ⋅cos j2 –sinj1 ⋅sinj2 ) + i(sin j1⋅cosj2 + sin j2 ⋅cos j1)) =
=r1r2 (cos(j1 +j2)+i⋅sin (j1 +j2 )).

Таким образом, z1z2 = r1r2 (cos(j1 +j2)+i⋅sin (j1 +j2 )), т.е. при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление. Пусть z1 =r1⋅(cos j1+i⋅sin j1), z2 =r2⋅(cos j2+i⋅sin j2), причем z2¹0.

= (cos(j1 -j2)+i⋅sin (j1 -j2 ))

Таким образом, (cos(j1 -j2)+i⋅sin (j1 -j2 )), т.е. при делении комплексных чисел в тригонометрической форме, их модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в степень. Пусть z = r⋅(cos j+i⋅sin j) Тогда, по правилу умножения комплексных чисел, z2=z⋅z=r2(сos2j+i⋅sin2j) и т. д. Методом математической индукции можно доказать, что

zn=rn (cos nj+i⋅sin nj), n ∈ℕ, (3)

т.е. при возведении комплексного числа в натуральную степень n, его модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n.

Определение 4. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число u, что un = z, и обозначается = u .

4. Извлечение корня n -й степени из комплексного числа z = r⋅(cos j+i⋅sin j), z .

Будем искать u в тригонометрической форме, т.е. u=r0(cos j0+i⋅sinj0) такое, что un = z, т.е. (r0(cos j0+i⋅sinj0)) n = r⋅(cos j+i⋅sin j). Согласно правилу возведения в степень, получим r0n(cos nj0+i⋅sin nj0)= r⋅(cos j+i⋅sin j).

Так как равные комплексные числа изображаются одной и той же точкой на плоскости, то из рисунка и определений 1 и 2 следует, что их модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь на 2p k, k ∈ℤ.

, следовательно,

При k=0 01 =

При k=1 02 =

При k =2 03 =

***

При k = n -1 0 ( n-1) = +2 -

При k = n 0 n = = +2 = 01

При k = n +1 0 ( n+1) = +2 + = 02 и т. д.

Таким образом,

= (cos + i⋅sin ), k = (5)

Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n значений z 0, z 1, z 2,…, zn-1 которые на комплексной плоскости располагаются на окружности радиуса R = и делят окружность на n равных частей.

 

Date: 2015-07-02; view: 647; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию