Как обнаружить фальшивую монету

Шестопал Г.

Представьте себе, что на стол высыпана кучка совершенно одинаковых по виду монет, но вам сказали, что одна из этих монет — фальшивая. Она отличается от остальных монет по весу, но вам не сообщили, легче она или тяжелее. В вашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Как нужно действовать, чтобы выделить эту монету и выяснить её тип (то есть узнать, легче она или тяжелее) за минимальное число взвешиваний?

Многие из вас, наверное, уже решали эту задачу для 12 монет. На рисунке приведено одно из решений этой задачи. Трём возможным исходам первого взвешивания соответствуют три различных варианта выбора монет для второго взвешивания: на рисунке левая стрелка соответствует случаю, когда перетянула левая чашка, средняя стрелка — равновесию, правая — случаю, когда перетянула правая чашка. Аналогичным образом изображены девять вариантов выбора монет для третьего взвешивания. (На рисунке монеты перенумерованы, буквы Л и Т означают соответственно, лёгкая и тяжёлая.)

Характерной особенностью этого решения является зависимость выбора монет для очередного взвешивания от результата предыдущего.

Поставим теперь задачу в общем виде.

Имеется m ≥3 одинаковых по виду монет. Все монеты, кроме одной, имеют одинаковый вес, а одна отличается от них по весу, но неизвестно, в какую сторону. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти эту монету и выяснить её тип? ¹

Эта задача более тридцати лет назад привлекла к себе внимание многих математиков, главным образом в Англии и США. В 1945 году в английском журнале «The Mathematical Gazette», похожем по своему направлению на «Квант», появилось решение этой задачи. Его автор Р. Л. Гудстейн впоследствии стал известным специалистом в области математической логики.

Гудстейн указал метод определения фальшивой монеты и её типа за n взвешиваний, n ≥3, если число монет

m ≤ ½(3 ⁿ – 2 n + 3)

(заметьте, что для трёх взвешиваний число монет не превышает двенадцати). Однако оказалось, что для n >3 его решение не является лучшим: за n взвешиваний можно выделить фальшивую монету и определить её тип из большего числа монет:

m ≤ ½(3 ⁿ – 3).

Это обнаружили независимо друг от друга сразу несколько математиков, и в следующем 1946 году тот же журнал опубликовал довольно длинный перечень их имён и разных ступеней успеха, достигнутых на поприще розыска фальшивой монеты. В этом же номере журнала напечатано самое лучшее решение — решение Ф. Дж. Дайсона, будущего известного физика-теоретика.

Идея Дайсона основана на использовании троичной системы счисления: все монеты маркируются специально выбранными троичными числами — маркерами, позволяющими удобно отражать ход последовательных взвешиваний. Особенно привлекательным при этом методе решения оказывается независимость выбора монет для последующего взвешивания от результата предыдущих.

В последующие годы были напечатаны другие решения этой задачи ², а метод Дайсона был незаслуженно забыт.

Поэтому интересно рассказать о нём подробно.

Всё решение Дайсона можно разбить на два этапа.

Рассмотрим каждый этап в отдельности.