Плоские электромагнитные волны и их свойства

Рассмотрим однородную непроводящую () нейтральную () безграничную среду, в которой распространяются электромагнитные возмущения.

Четыре уравнения Максвелла с учетом двух материальных уравнений (, ) сводятся к следующим уравнениям для Е и Н:

(1)

(2)

(3)

(4)

Ограничимся случаем, когда возмущение распространяется вдоль оси Х и напряженности Е и Н зависят только от х и t. Такое возмущение является плоской волной.

Перепишем уравнения (1) - (4) в координатной форме. Напомним, что

, .

Из (1) и (2) получаем:

(1а), (2а).

(3) и (4) – векторные уравнения. Каждое из них дает три уравнения для проекций на оси X, Y, Z:

(3- Х) (4- X)

(3- Y) (4- Y)

(3- Z) (4- Z)

Из (1а) и (4- Х) мы делаем вывод, что Е_х не зависит ни от х, ни от t, т.е. является однородным полем. Аналогично Н_х. Однородные статичные поля не связаны с распространением возмущения, и их можно не учитывать.

Оставшиеся четыре уравнения распадаются на две независимые группы:

и

Первая пара уравнений связывает друг с другом компоненты полей и , вторая пара – поля и . Вывод: пара полей и (или и ) является взаимопорождающей, при этом другая пара полей не возникает: , меняясь со временем, порождает , и наоборот. В простейшем случае может существовать только одна пара полей – например, и . Волна при этом, как оговорено с самого начала, распространяется вдоль оси Х.

Вывод: электромагнитные волны поперечны:

направлению распространения.

Выпишем еще раз уравнения для пары и :

(5)

(6)

Продифференцируем первое уравнение по х, а второе – по t:

, .

Полученные уравнения содержат одну и ту же производную . Выразив ее из каждого уравнения и приравняв значения друг другу, приходим к уравнению:

. (*)

Точно такому же уравнению удовлетворяет и магнитное поле .

Сравним уравнение (*) с известным вам из курса Механики волновым уравнением, описывающим распространение возмущения (волны) со скоростью v:

.

Вывод: скорость распространения электромагнитной волны .

Скорость в вакууме (обозначим ее «с») равна м/с.

Скорость в среде .

Решением волнового уравнения (*) являются любые функции вида – плоские волны, бегущие в положительном направлении оси Х (при знаке «минус» в аргументе) или в отрицательном направлении (при знаке «плюс»).

Такие же решения и для магнитного поля: .

Найдем связь между мгновенными значениями Е и Н в волне.

Пусть волна бежит в положительном направлении оси Х:

, . (7)

Уравнение (6) связывает производные и . Для волны (7) (штрихом мы обозначили производную от функции F по аргументу ), . Подставляем эти производные в (6) и получаем: , откуда следует, что . Значение же константы можно принять равной нулю, т.к. постоянные поля нас не интересуют. Итак, .

Сформулируем еще раз полученные выводы.

1) Электромагнитные волны являются поперечными:

2) () образуют правую тройку векторов.

3) Скорость волн в среде , где м/с – скорость в вакууме.

4) В каждый момент модули Е и Н (Е и В) пропорциональны друг другу:

, или

5) Плотности электрической () и магнитной () энергии в волне одинаковы:

, .

Полная плотность энергии

.

Хотя мы пришли к этим выводам на примере плоской волны, они остаются верными для всех типов электромагнитных волн.

Частным, но наиболее важным случаем плоской волны является плоская гармоническая волна с круговой частотой :

,

, где – волновое число.

Электрический и магнитный векторы в волне изменяются синфазно: одновременно (в каждой точке) достигают максимума и обращаются в ноль.

Длина гармонической волны в вакууме

(где – частота колебаний в волне). В среде длина волны уменьшается в раз. Число называют показателем преломления среды.