Методика введения понятия производной. Приложения производной

Введению понятия производной функции может предшествовать рассмотрение задач. Такими задачами являются: задачи о мгновенной скорости прямолинейного движения тела, мгновенной величине тока, теплоемкости тела в точке. В алгебре и началах анализа 10-11 кл. понятие производной вводится в =>-щей последовательности: 1) Рассматривается понятие приращения аргумента и приращения функцции, 2) Вводят определение функции дифференцируемой в точке А. Функция f называется дифференцируемой в точке А если ее приращение при переходе от А к А+Н может представить в виде f(A+H)-f(A) = (K+L)H (1), где К- число, L-ф-ция -малая при Н стрем. к О, 3)Производная ф-ции f в наз-ся ф-ция f ' значение которой

lim a = 0 в точке x выр-ся фор-лой f(x + H)-f(x): f ' (х)= lim = Н, т.е. значение производной от ф-ции f в точке X равно пределу отношения приращения ф-ции к приращению аргумента, если приращение аргумента Для того чтобы найти значение производной ф-ции f в точке X надо: 1)найти выражение для приращения f(x+H)-f(x) ф-ции f; 2) разделить отображение на приращение аргумента Н; 3}найти предел полученного отношения при Н—О. В школьном курсе математики рассматривают применение производной к приближенным вычислениям. В геометрии, физике применение производной к исследованию функций. Сюда относятся решение дробно-рац-ных нер-в методом интервала, задачи на нахождение наиб-го и наименьшего значения функции. Метод интервалов. Решение дробно-рациональных неравенств вида P(x)/Q(x)< >0, где P(x),Q(x) некоторые многочлены удобно решать методом интервала. Дроб-рац-ное нер-во после выполнения тождественных преобразований приводится к виду: P(x)/Q(x)< >0. Затем Р(х) и О(х) раскладываются на множители, тогда неравенство принимает вид: . По основному свойству дроби числитель и знаменатель умножают на произведение (x-b₁)(x-b₂)#0.

Умножим обе части неравенства на произведение (x-b1)²{x-bn)². Находим критические точки в которых числитель =0. Если в какой-то из этих точек знаменатель не существует то эти точки б/исключены из решения. Полученные точки располагают на координатной прямой и определяют знак на крайнем справа интервале, выбирая промежутки удовлетворяющие неравенству. Исследование функции на монотонность, нахождение наиб. и наим. значения.