Методика введения понятия «функция»

Слово «функция» происходит от латинского глагола fungi – выполнять, выражать, осуществлять. Различают два направления определения понятия «функция»: 1) с использованием понятия величины; 2) не используя этого понятия. В первом направлении выделяют два подхода: 1) функция как переменная величина, числовое значение которой меняется в зависимости от числового значения другой величины; 2) функция – это закон по которому значение независимой переменной соответствует значению зависимой переменной. Во втором направлении выделяют три подхода: 1) определяется не функция а ситуация; 2) определяют функцию как закон; 3) с помощью соответствия. Третий подход как принцип (каждому элементу области отправления соответственно равно один элемент области прибытия) положен в основу современного школьного понятия функции.

В процессе формирования понятия «функция» можно выделить несколько уровней:

1. Пропедевтический – начальная школа. На этом уровне не даются ни какие определения, однако материл начального курса математики содержит много примеров на которых можно разъяснить зависимость значения одной величины от значения другой. например можно показать как зависит сумма от каждого слагаемого, разность от уменьшаемого и вычитаемого и т.д. При этом используют так называемый язык «с пустыми местами» например 3 + …; 7 – …; … * 2 и т.д.

2. Пропедевтический – он отличается от первого тем, что составляется таблица значений, наглядно представляющие зависимость. Например: в пятом классе в теме «Буквенные выражения» и в дальнейшем учащимся предлагаются такие значения: отцу - х лет, сыну – у лет, отец старше сына на 30 лет – заполните пустые места в таблице, на этом уровне не даются не какие определения.

3. Пропедевтический курс алгебры 7 кл. начинается с изучения темы «Выражения в переменными». Решая задачу, учащиеся получают выражения с переменной: задача: двигаясь со скоростью 60 км/ч автомобиль пройдет за 2 часа – 60*2 км, за 3 – 60*3 км, за t часов – 60*t км. Выражение 60*t позволяет находить путь пройденный автомобилем за разные промежутки времени t. Букву t называют переменной, 60*t называют выражением с переменной.

Введение понятия функция начинается с решения задачи. Задача: расстояние между станцией и турбазой 60 км, с турбазы на станцию отправляется велосипедист со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от станции он будет находиться через х часов. За х часов он пройдет 12*х км; (60-12х) км – расстояние на котором будет находиться через х часов велосипедист от станции. Обозначим расстояние буквой у, тогда у=60-12х. Мы получили формулу, выражающую зависимость расстояния у от времени движения х, по формуле у=60-12х для каждого значения х можно найти соответствующее значение у. Значение у зависит от значения х, причем каждому значению х соответствует единственное значение у. Такие зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями (функциями). Дается определение:

Зависимость переменной у от переменной х называет функцией, если каждому значению х соответствует (каждое) единственное значение у (аргумент). Переменную у называют зависимой переменной, область определение функции – это все значения, которые принимает независимая переменная. Затем необходимо вспомнить с учащимися примеры функциональных зависимостей рассмотренных ранее. (зависимость периметра квадрата от его стороны; зависимость скорости; пропорциональные и обратно пропорциональные переменные). Что бы задать ф-ию нужно указать способ с помощь которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение ф-ии.

Опр: графиком ф-ии называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям ф-ий. Даже учащиеся выясняют, что является графиком прямой пропорциональности у=kx, обратной пропорциональности y=k/x(7 кл.)