ДУ 1-го порядка

1. Простейшее ДУ: , тогда .

2. ДУ с разделяющимися переменными . Делим обе части на , приводим к виду и интегрируем: .

Замечание: ДУ вида приводится к ДУ с разделяющимися переменными заменой , при этом .

3. Однородное ДУ: , приводится к ДУ с разделяющимися переменными заменой , тогда .

Замечание: Обобщенное однородное ДУ вида приводится к однородному ДУ.

1 случай: . Делаем замену и получаем ДУ с разделяющимися переменными.

2 случай: . Приводим к однородному ДУ. Решая систему , находим точку пересечения соотв. прямых , далее делаем замену , при этом .

4. Линейное ДУ (*). Общее решение находим методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом Бернулли.

1) Метод Лагранжа (вариации постоянной)

1 шаг. Находим общее решение соответствующего линейного однородного ДУ: .

2 шаг. Пусть , тогда (**), находим и подставляем в (*). Решаем получившееся ДУ, находим и подставляем в (**). При этом получаем общее решение исходного линейного ДУ.

2) Метод Бернулли.

1 шаг. Пусть искомая функция имеет вид: , тогда . Подставляем в (*). Получим:

. Группируем слагаемые содержащие множитель : (***).

2 шаг. Приравняем выражение в скобках к 0: . Найдем частное решение получившегося ДУ:

3 шаг. Подставим найденное в (***). Из полученного ДУ найдем - общее решение.

4 шаг. Перемножим найденные и , получим общее решение линейного ДУ.

Замечание: Уравнение Бернулли приводится к линейному ДУ делением на , получим и заменой .

5. ДУ в полных дифференциалах, если выполняется условие . В этом случае общее решение находим по формуле , числа выбираются произвольно из ОДЗ (обычно 0 или 1).