Парабола және оның қасиеттері

Анықтама. Парабола деп фокусы деп аталатын нүктеден ара қашықтығы центрі арқылы өтпейтін директрисасы деп аталатын берілген түзуден бірдей ара қашықтықта болатын жазықтықтағы нүктелердің жиынын айтады.

Координат басын фокус пен директрисаның ортасына орналастырамыз.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

р шама (фокустан директрисаға дейінгі қашықтық) параболаның параметрі деп аталады. Параболаның жабайы теңдеуін қорытып шығарайық.

Геометриялық кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px (*)

x = -p/2 - директрисаның теңдеуі.

Параболаның қасиеттері:

1. (*) теңдеудегі у жұп дәрежелі болғандықтан, парабола Ох өсіне қарағанда симметриялы, Ох өсі параболаның симметрия өсі болады.
2. р>0 болғандықтан, (*) теңдеуден х³0. Сондықтан, парабола Оу өсінің оң жағында орналасады.
3. х = 0 болғанда, у = 0. Демек, парабола координат басы арқылы өтеді.
4. х шектеусіз өскен сайын у-тің модулі де шектеусіз өседі. О(0; 0) нүкте параболаның төбесі, ҒМ = г М нүктесінің фокальдық радиусы болады.

y² = - 2px, х² = 2pу, х² = - 2pу (р>0) теңдеулері де параболаларды анықтайды.

Мысал. у² = 8х параболаның бойынан директрисаға дейінгі қашықтығы 4 – ке тең болатын нүктені тап.

Шешу. Параболаның теңдеуінен р = 4 табамыз.

r = x + p/2 = 4; Сонда x = 2; y² = 16; y = ±4. Ізделінді нүктелер: M₁(2; 4), M₂(2; -4).