Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Услови параллельности векторов

Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Смешанное произведение трех векторов. Определение. Вычисление. Условие компланарности трех векторов

Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Смешанное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой:

Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то