Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Признак вписанного четырёхугольника





Если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 180°,то около него можно описать окружность.

Доказательство:
Пусть ABCD - такой четырёхугольник, что ∠A+∠C = 180°. Проведём окружность через три вершины A, B и D четырёхугольника. В таком случае, вершина C может оказаться как внутри окружности, так и снаружи.
Рассмотрим второй случай. По теореме об угле между двумя секущими:
∠C = => ∠C <
Так как по теореме о вписанном угле ∠A = , то ∠A + ∠C < = 180°,
то есть ∠A+∠C < 180°, что противоречит условию.
Теорема доказана.

21. Признак описанного четырёхугольника.
Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство:
Воспользуемся методом от противного. Пусть для четырехугольника ABCD выполняется условие AB + CD = BC + DA. Проведем биссектрисы угловA и B и обозначим через O точку их пересечения. Точка O равноудалена от сторон AD и AB, а также от сторон BA и BC. Значит, точка O равноудалена от трех сторон AB, AD и BC, поэтому мы можем построить окружность с центром в O, касающуюся этих трех сторон четырехугольника ABCD. Пусть эта окружность не касается стороны CD. Для определенности можно считать, что она не пересекает стороны CD. Проведем через C прямую, касающуюся этой окружности, и обозначим через D1 ее точку пересечения с AD. Имеем два четырехугольника ABCD и ABCD1, в каждом из которых суммы противоположных сторон равны. В первом - по условию теоремы, во втором потому, что он описанный. Запишем оба эти равенства:
AB + CD = BC + AD, AB + CD1 = BC + AD1.
Вычтем второе равенство из первого. Получим: CD - CD1= DD1 или CD = CD1 + DD1. Последнее равенство означает, что точки C, D и D1 лежат на одной прямой, так как в противном случае оно противоречило бы неравенству треугольника. Значит, точки D и D1 совпадают, и четырехугольник ABCD является описанным.
Теорема доказана.

 








Date: 2015-07-01; view: 793; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.005 sec.) - Пожаловаться на публикацию