Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Разложение вектора по неколлинеарным векторам





Пусть векторы а и b – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p=х* а + y* b, где x и y – некоторые числа, то вектор p разложен по векторам а и b. Числа x и y – коэффициенты разложения.

 

13. Построения.

14. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства:
1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|2
4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a
5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
6. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

 

15. Признаки параллелограмма.
1. Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
4. Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно ∠3 = ∠4.
А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Теорема доказана.

 

16. Вывод формулы радиуса вписанной и описанной в многоугольнике окружности.
1. Пусть r – радиус вписанной окружности,
R – радиус описанной окружности,
n – количество сторон и углов многоугольника.
2. Рассмотрим правильный n-угольник. Пусть a – сторона n-угольника, α – угол.
3. Построим точку O – центр вписанной и описанной окружности.
4. OC – высота ΔAOB.
5. Рассмотрим ΔАОС: ∠С = 90° - (по построению),
∠ОАС = α/2 – (ОА – биссектриса угла n-угольника),
АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),
пусть ∠АОС = β, а ∠АОВ = 360°/n,
тогда β = 0,5 * ∠АОВ = 0,5 * (360°/n) = 180°/n.
R = OB = =
r = OC = =

 

17. Касательная к окружности.
Если прямая имеет единственную общую точку с окружность, то такая прямая называется касательной к окружности.

Основная теорема о касательной.
Радиус, проведенный в точку касания окружности, перпендикулярен касательной.

Доказательство:
Предположим, что р не перпендикулярна ОА.

В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т. е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что p - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что p не перпендикулярно ОА было неверным, значит, p перпендикулярна ОА. Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Ч. т. д.

Теорема о равенстве отрезков касательной.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, а прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными пополам.

Доказательство:
Используя предыдущую теорему, утверждаем, что ОВ перпендикулярен АВ, а ОС - АС. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по катету и гипотенузе (ОВ=ОС - радиусы, АО - общая). Поэтому равны и их катеты АВ=АС и углы ОАС и ОАВ.
Теорема доказана.

Вывод формулы радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности.
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно, CD = CF = r,
=> c = AE + BE = b – r + a – r = a + b – 2r.
Следовательно, принимая во внимание теорему Пифагора, получаем:
r = (a + b – c)


Следствия из теоремы косинусов (к пункту 18)
1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
2. В любом треугольнике со сторонами a, b и c длины медиан m вычисляются по формуле:

18. Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство:
Пусть есть Δ ABC.
Докажем, что
BC2 = AC2 + AB2 - 2AC*AB*cos A.
Имеем векторное равенство
B̅C̅ = A̅C̅ - A̅B̅.
Возведем в квадрат левую и правую часть равенства, получим
B̅C̅2 = A̅C̅2 + A̅B̅2 – 2A̅C̅*A̅B̅.
Или
BC2 = AC2 + AB2 – 2AC*AB*cos A
Теорема доказана.

Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Доказательство:
Построим два вектора a̅ и b̅, выходящие из одной вершины параллелограмма и совпадающие с его сторонами.
Тогда одна из диагоналей, по правилу параллелограмма, является суммой этих векторов, а вторая, по правилу треугольника - разностью:
1 = a̅ + b̅
2 = a̅ - b̅
Возведя в квадрат (скалярно) оба равенства, получим:
12 = a̅2 + 2a̅b̅ + b̅2
22 = a̅2 - 2a̅b̅ + b̅2

Сложив оба равенства, учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть, длины, получим требуемое свойство.
Теорема доказана.

 

19. Свойства параллелограмма:
1. Противолежащие стороны равны;

2. Противоположные углы равны;

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Доказательство (1):
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.

Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует, что BC=DA.
Теорема доказана.

 

Date: 2015-07-01; view: 1283; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию