Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду





Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

Квадратичная часть этого уравнения - это квадратичная форма

Матрица квадратичной формы:

В каноническом уравнении матрица квадратичной части должно быть диагональной. Нам известно, что существует ортогональное преобразование координат такое, что матрица квадратичной формы в новых координатах имеет диагональный вид. Новый базис образуется из собственных векторов матрицы

Итак, для того чтоб привести общее уравнение к каноническому виду нужно

· найти ортогональный базис из собственных векторов матрицы;

· перейти к новой системе координат, в которой матрица квадратичной части является диагональной;

· осуществить параллельный перенос начала координат таким образом, чтобы уравнение приняло канонический вид (например, в центр вершину поверхности).

Итак, схема приведения общего уравнения поверхности к каноническому виду такая же как и для кривой. Но есть некоторые отличия, например, когда собственное число матрицы квадратичной формы имеет кратность больше 1. Разберем на примере.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности

Найти каноническую систему координат.

Выписываем матрицу квадратичной части:

Характеристический многочлен этой матрицы:

Его корни, собственные числа матрицы :

Ищем собственные векторы.

Для собственный вектор находится из системы уравнений Матрица этой системы:

Итак, собственный вектор имеет направление Нормируем его (делим на длину) и берем в качестве первого нового базисного вектора

Для собственные векторы находятся из системы уравнений Матрица этой системы:

Итак, собственные векторы, соответствующие собственному числу 0, образуют двумерный подпространство, ортогональный вектору Выберем какой-нибудь вектор из этого подпространства, например нормируем его (делим на длину) и берем в качестве второго нового базисного вектора Третий базисный вектор можно найти как он будет принадлежать подпространства собственных векторов для кроме того образуют ортонормированный положительно ориентированный базис. Итак ,



Переходим к новой системе координат. Напомним, что старые координаты связаны с новыми следующим образом:

где - матрица перехода к новому базису, ее столбиками есть координаты новых базисных векторов в старом базисе.

Преобразование координат

Подставляем эти выражения в уравнение поверхности. В квадратичную часть подставлять не нужно, по известной теореме в базисе из собственных векторов матрица квадратичной части имеет диагональный вид, где диагонали стоят собственные числа. Нужно подставить эти выражения только в линейную часть:

Это уравнение параболического цилиндра, но еще не каноническое. Нам нужно сделать еще оборот вокруг оси так как в плоскости мы выбирали базисные векторы произвольным образом, а они оказались не каноническими. Вращение вокруг оси задается матрицей:

Итак, нам нужно найти угол , на который мы должны сделать оборот. В общем случае это делается следующим образом. Мы имеем

Итак, В нашем случае

Итак,

После последующего преобразования координат

имеем

Делаем параллельный перенос

и получаем в новой системе координат каноническое уравнение параболического цилиндра:

Теперь нужно выписать общее преобразование координат, то есть выразить координаты через Напомним, что обратная ортогональной матрица совпадает с транспонированной. Имеем

Итак, это превращение дает нам каноническую систему координат: ее начало находится в точке с координатами , базисные векторы новых координатных осей

 








Date: 2015-07-01; view: 2499; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию