Свойства симметричной матрицы

Матрица будет симметричной тогда и только тогда, когда для любых вектор-столбцов выполняется

Действительно,

Утверждение. Если - симметричная матрица с действительными элементами размера тогда все собственные числа матрицы действительны.

Доказательство. Пусть - собственное число матрицы - вiдповидний собственный вектор, т.е.

Рассмотрим вектор-столбец с комплексно сопряженными координатами, принимая во внимание, что матрица имеет действительные элементы ():

Итак, вектор-столбец является собственным вектором матрицы соответствующий собственному числу Мы два равенства:

Поскольку матрица симметрична, то

Итак, имеем:

и так как то

Утверждение. Собственные векторы симметричной матрицы соответствующие различным собственным числам взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть - различные собственные числа матрицы -собственные векторы, которые им соответствуют, то есть

Тогда,

Отнимая, получаем

Поскольку то