Уравнения плоскости

1. Параметрическое и обшее уравнения плоскости. Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую-нибудь ее точку и два произвольных приложенных к этой точке неколлипеарных вектора (рис. ) и . Эти векторы определяют двумерное векторное многообразие, состоящее из всех векторов и, являющихся линейными комбинациями векторов их прилагая векторы и к точке , получим всевозможные закрепленные векторы вида

где s и t — произвольные вещественные числа; концы М этих векторов и заполняют плоскость, проходящую через точку и два приложенных к ней вектора их и .

Рис. 119.

В координатной форме уравнение (1) переписывается так:

Давая в этих уравнениях переменным s и t всевозможные числовые значения, получим все точки нашей плоскости и только точки этой плоскости. Поэтому векторное уравнение (1) или равносильная ему тройка числовых уравнений (1) называется параметрическим уравнением плоскости.

Уравнения (1) выражают линейную зависимость столбцов матрицы

что в свою очередь эквивалентно равенству

или уравнению

где

Таким образом, уравнение (3) представляет собою необходимое и достаточное условие, чтобы точка принадлежала плоскости, определяемой уравнением (1), т. е. уравнение (3) есть уравнение плоскости, проходящей через точку и через пару неколлинеарных векторов

Задача. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки

Искомая плоскость содержит точку и неколлинеарные векторы

ее уравнение, следовательно, есть (2), т. е.

что может быть переписано и в виде

(в чем убеждаемся непосредственным вычислением, вычитая вторую строку последнего детерминанта из остальных трех его строк).