Статистическая обработка результатов измерений

При малом количестве экспериментов (малая выборка) основной задачей является определение с заданной вероятностью интервала, в котором находится средняя арифметическая (математическое ожидание) генеральной совокупности [1]. Под генеральной совокупностью подразумевается выборка из n измерений (единиц) какого-либо свойства, причем n®¥.

Расчет проводится из предположения, что распределение измеряемой величины подчиняется нормальному закону распределения, встречающемуся в технике наиболее часто.

Пусть имеем выборку из n единиц: x₁, x₂, …x_n, где m – среднее арифметическое выборки, s – среднеквадратичное отклонение.

Необходимо определить вероятность Р того, что математическое ожидание а генеральной совокупности располагается в интервале (m ± x) (это доверительный интервал).

Известно, что для нормального закона распределения «нормированное» отклонение, т.е. разность между текущим значением переменной и средней совокупности, отнесенная к среднеквадратичному отклонению, не зависит от среднеквадратичного отклонения, а подчинятся определенному закону распределения.

Нормированное отклонение средних арифметических разных выборок t составляет

,

где s_m – среднеквадратичное отклонение средней арифметической разных выборок.

Известно, что дисперсия средней арифметической выборок в n раз меньше дисперсии переменной, т.е.

.

Закон распределения нормированного отклонения описывается следующей формулой:

,

где k – число степеней свободы системы (т.е. то количество значений признака, которые могут принять произвольные значения, не изменяя общего уровня, около которого эти значения варьируют). В нашем случае имеем n значений переменной, из них произвольно мы можем назначить n –1 значения с тем, чтобы сохранить величины m и s нашей выборки. Таким образом, .

Вероятность того, что t не превзойдет некоторого числа t _a, т.е. лежит в интервале оценивается интегралом

.

Значения этого интеграла при условии, что вероятность события вычислены и приводятся в приложении 6.

Поскольку и мы знаем вероятность Р =a того, что – t _a< t < t _a, получаем:

.

Отсюда: .

Задав вероятность a, близкую к единице, чтобы можно было считать событие практически достоверным (например, a=0,95), можно найти величину t _a. Имея значения a и k и вычислив s_m находим произведение .

Тогда с вероятностью a математическое ожидание генеральной совокупности а лежит в интервале .