Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики

Содержание

1. Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики

2. Переключательные функции

3. Не полностью определенные переключательные функции

4. Построение комбинационной логической схемы по заданной переключательной функции

5. Минимизация переключательных функций с помощью карт Карно

6. Нормальные формы логических уравнений. Преобразование логических уравнений к заданному базису

7. Скобочные формы логических уравнений

8. Комбинационные схемы

Список литературы

Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики

Методы синтеза и анализа всех классов цифровых схем построены на базе алгебры логики, которая является основным математическим аппаратом описания и преобразования структуры цифровых схем [1].

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 0 и 1 (например, 0 – событие не происходит, 1 – происходит; 0 – ложное высказывание, 1 – истинное; 0 – низкий уровень напряжения, 1 – высокий; 0 – разомкнутый контакт, 1 - замкнутый). Значения переменных не отображают каких-либо количественных значений, а имеют лишь символическое значение.

Основные соотношения алгебры логики приведены в табл. 1. В справедливости приведенных соотношений можно убедиться, используя метод перебора. При преобразовании логических выражений, как и в обычной алгебре, должен соблюдаться порядок выполнения операций (порядок старшинства операций) – сначала отрицание, затем конъюнкция и потом дизъюнкция. Приведенный порядок выполнения операций можно изменить и задать его с помощью скобок. В тождествах (9.1) – (12.2) правая часть проще левой, поэтому их можно использовать для упрощения сложных логических выражений.

Все тождества записаны парами на основании того, что по принципу двойственности из одного тождества пары можно получить другое взаимной заменой операций дизъюнкции и конъюнкции, а также значений 0 и 1. Тождества (4.1) и (4.2) самодвойственны, так как они не изменяются по принципу двойственности.

Большую роль в теории переключательных функций играет операция сумма по модулю два (исключающее ИЛИ, логическая неравнозначность), которая обозначается символом и определяется соотношением

Операция сумма по модулю два коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно операции конъюнкции.