Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Пусть нам нужно вычислить интеграл:

(36)

В случае, когда методы Ньютона-Котеса и Гаусса работают плохо, приходится обращаться к вероятностным методам случайного поиска. К таким методам относится метод Монте-Карло.

Для вычисления интеграла (36) методом Монте-Карло, заменим переменную интегрирования таким образом, чтобы пределы интегрирования отобразились соответственно в . Для этого нужно воспользоваться преобразованием:

(37)

тогда интеграл (36) принимает вид:

(38)

Для вычисления же интеграла на имеем формулу:

(39)

где - случайные числа, равномерно распределённые на . Таким образом, по методу Монте-Карло, интеграл (36) считается по формуле:

(40)

где - равномерно распределённые случайные числа из промежутка .

Аналогично, для кратных интегралов. Получаем:

(41)

где - случайные точки, равномерно распределённые на квадрате (Здесь знак «» означает декартовое произведение).

В случае, когда область интегрирования является сложным множеством (рис. 6), пользуемся прямоугольником , который описывается вокруг множества . И интеграл по множеству заменяем интегралом по прямоугольнику , который уже умеем вычислять по формуле (41). Замена интеграла по множеству производится соотношением:

(42)

где

(43)

таким образом:

(44)

который легко рассчитывается по формуле (41).

Аналогично вычисляются и трёхкратные интегралы. Этот подход легко обобщается для n-кратных интегралов.

Литература

1. Р.В. Хемминг. Численные методы, Наука, М.,1998

2. Коллатц., Ю.Альбрехт. Задачи по прикладной математике. Мир, М.,1998.

3. Т.Шуп. Решение инженерных задач на ЭВМ. Мир, М., 1992.

4. К.Бреббия, Ж. Теллес, Л. Врубел.Методы граничных элементов. Мир, М.,1987.

5. И.С.Берехин., Н.П.Жидков. Методы вычислений, ч.1., М.,1982.