Формула трапеций

Рис. 1.

а) графический вывод:

Определённый интеграл , как известно, задаёт площадь криволинейной трапеции , поэтому, вписав ломаную в дугу кривой , мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:

(6)

Между тем, очевидно, что

(7)

Так как, в методах Ньютона-Котеса, , учитывая (6) получаем:

(8)

или, соединяя подобные члены, имеем:

(9)

Формула (9) – называется формулой трапеций.

б) Аналитический вывод:

Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка , построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения . Ясно, что в таком случае интерполирующая функция имеет вид:

(10)

т.к. в методе Ньютона-Котеса , учитывая (3) и (4), из (10) получаем:

(11)

Аналогично, , т.е.

(12)

Таким образом, получаем формулу:

(13)

тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:

(14)

где . Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).