Формирование фонда с помощью рентных платежей

Предположим, что некоторая организация хочет сформировать в течение лет денежный фонд, перечисляя каждый год на сформированный в банке счет сумму .

Очевидно, что существование на банковском счете в течение лет возрастающей суммы денег должно оплачиваться банком, поскольку он может использовать эти средства для получения дополнительного дохода (например, кредитуя других лиц).

Рассмотрим возможности формирования такого фонда при различных формах договоренности с банком. Здесь мы имеем в виду договоренность относительно следующих вопросов.

1. Договоренность относительно частоты взносов ( - целое число большее или равное 1) в течение года при условии, что общий взнос за год составит сумму , и момента получения банком очередного взноса в рассматриваемом периоде.

2. Договоренность относительно правил начисления процентов на уже сформированную сумму на счете фонда. Здесь необходимо зафиксировать частоту начислений в год (эту величину мы будем обозначать как целое число ).

Для рентных платежей установилась следующая терминология: рента с платежами раз в году носит название - срочной ренты.

Как мы уже говорили, принято различать ренты постнумерандо (когда выплаты очередных взносов приходятся на конец указанного периода, составляющего часть года) и ренты пренумерандо (когда выплаты очередных взносов приходятся на начало указанного периода, составляющего часть года).

Поскольку формирование фонда происходит в течение нескольких лет, то естественно рассматривать начисление процентов по формуле сложных процентов.

В дальнейшем будем предполагать, что в наиболее общем случае мы рассматриваем - срочную ренту постнумерандо в течение лет с начислениями в году на находящуюся на счете в банке сумму средств до конца -го года. Обозначим конечную сумму банковского счета на конец -го года через .

Задачу нахождения общей формулы для начнем с простого случая , затем рассмотрим последовательное усложнение:

Такой подход не только более удобен для ознакомления, но и позволит установить систему неравенств для величин при различных и .

1. - рента постнумерандо в течение лет с начислением процентов раз в году по ставке годовых.

Нетрудно догадаться, что

(1)

Каждое слагаемое отвечает за наращенную сумму взноса платежа от начала: для первого платежа в конце 1 года «нарастают проценты» за год до конца -го года, а последний взнос в конце -го года входит в сумму без наращения.

Очевидно, что , поскольку из формулы для бинома Ньютона

. (2)

2. - рента постнумерандо в течение лет с начислением процентов раз в году по ставке годовых. Номинальная ставка означает, что каждое начисление процентов будет происходить по ставке . Сравнение ставки для ренты с однократным в году начислением процентов с при кратном начислении, может быть проведено математически корректно по формуле

, (3)

и при этом очевидно (равенство возможно лишь при ). Для случая, когда очевидно

. (4)

Интересующая нас сумма может быть выражена формулой

(5)

Заметим, что при выполнении равенства (3) суммы (1) и (5) совпадают, а при справедливо соотношение в силу неравенства (4).

3. - рента постнумерандо в течение лет с начислением процентов раз в году по ставке годовых при (так называемое непрерывное начисление процентов – ситуация интересна скорее как академическая задача).

Нахождение искомой суммы следует из известного замечательного предела из математического анализа

(6)

Следовательно

(7)

4. - - срочная рента постнумерандо в течение лет с начислением процентов по ставке годовых в конце каждого года.

Какова будет формула для ? Заметим, что при наращении за время при годовой ставке по формуле сложных процентов будет имеет множитель и если , то за таких интервалов длительностью наращение составит . Теперь нетрудно понять приведенную ниже формулу для вычисления -срочной ренты без комментариев как заданное банком правило:

(8)

Поскольку , то и следовательно .

Для сравнения формулы (7) и (8) надо определить соотношение между и . Если справедливо равенство (3) для любого , то можно предположить и выполнение соотношения

.

Тогда числители в формулах (7) и (8) совпадают, а для знаменателей для выполняется неравенство:

Поэтому знаменатель в формуле (7) больше чем в формуле (8) и, следовательно, при выполнении равенства (4)

. (9)

5. - - срочная рента постнумерандо в течение лет с начислением процентов раз в году по ставке годовых.

(10)

При выполнении равенства (3) очевидно .

6. - - срочная рента постнумерандо в течение лет с непрерывным начислением процентов по ставке годовых.

(11)

Итак, мы видим, что если при фиксировано ставке годового процента величина номинальной ставки является функцией от числа начислений в году и определяется формулой (3), включая и предельный случай , то справедлива цепочка соотношений для конечных сумм при и больше единицы:

, (12)

Полученные соотношения (12) являются вполне предсказуемыми.