Общий вид представления чисел. В памяти ЦВМ числовая информация может быть представлена в различных формах

В памяти ЦВМ числовая информация может быть представлена в различных формах.

В случае с фиксированной запятой для всех чисел, над которыми выполняются операции, положение запятой строго зафиксировано между целой и дробной частями числа.

Обычно в ЦВМ используются два способа расположения запятой:

Ø перед старшим разрядом, то есть целая часть числа равна нулю, и в операциях участвуют правильные дроби;

Ø после младшего разряда, то есть дробная часть числа равна нулю, и в операциях участвуют только целые числа.

Разрядная сетка с указанием номера разряда и его веса для дробного числа имеет вид:

Разрядная сетка для целого числа имеет вид:

Если целые числа представляются без знака, то диапазон их представления в заданной разрядной сетке может быть увеличен за счет использования разряда, отводимого под знак числа.

Число с фиксированной запятой представляется следующим образом:

[Х]_ф.з.=Х*К_м,

где

[Х]_{ф.з .} — машинное представление числа с фиксированной запятой;

Х — исходное число,

К_м — масштабный коэффициент, который выбирается из условий конкретной разрядной сетки и не должен допускать выхода исходных чисел и результатов вычислений за пределы допустимого диапазона.

Масштабный коэффициент должен быть единым для всех обрабатываемых в машине чисел и получаемых результатов, он хранится отдельно от представляемых чисел и учитывается при выдаче конечного результата.

Число в форме с фиксированной запятой должно удовлетворять следующему неравенству:

[X]_ф.з._min £ [X]_ф.з. £ [X]_ф.з.max

Если нарушена левая часть неравенства, то имеем машинный ноль; если нарушена правая часть неравенства, то произошло переполнение разрядной сетки.

Представление чисел в форме с плавающей запятой позволяет избежать масштабирования исходных чисел, а также увеличить диапазон и точность представляемых чисел.

Число в нормальной форме имеет вид:

Х = m*q ^p, (15)

где

q — основание СС;

p — целое число — порядок числа Х;

m — мантисса числа.

Чтобы нормализовать мантиссу, ее нужно сдвигать вправо для целого числа и влево для дроби на столько разрядов, чтобы целая часть мантиссы была равна нулю, а старший разряд мантиссы был равен 1, после чего к порядку целого числа прибавить (а из порядка дроби вычесть) столько единиц, на сколько разрядов был произведен сдвиг.

Полулогарифмической эта форма представления называется потому, что в логарифмической форме представлено не всё число, а только его характеристика q.

Поскольку, изменяя одновременно определённым образом мантиссу и порядок числа Х, можно по выражению (15) получить любое количество представлений числа Х, то на мантиссу m накладывается следующее ограничение, чтобы избежать неоднозначности в представлении чисел

q^-1 £ |m| £ 1. (16)

Если для числа Х в форме с плавающей запятой выполнены условия (16), то число Х называется нормализованным, мантисса представляется правильной дробью, а ее старший разряд с основанием q отличен от 0.

Для двоичной СС неравенство (16) имеет вид:

0.100...0 £ |m| £ 0.11...1. (16')

Разрядная сетка для числа с плавающей запятой состоит из двух частей: для порядка и для мантиссы.

Мантисса, удовлетворяющая условию (16') называется нормализованной, а операция преобразования ее к виду (16') называется нормализацией.

Для упрощения операций над порядками чисел с плавающей запятой, порядки представляют целыми положительными числами без знака, используются так называемые смещенные порядки. Чтобы получить смещенный порядок, нужно к исходному порядку p прибавить целое число - смещение М= 2 ^k, где k — число двоичных разрядов, используемых для модуля порядка.

Смещенный порядок