Пример решения

Лабораторная работа № 3.

Задача планирования при ограничениях на ресурсы

Цель работы: изучить решение задачи моделирования в условиях ограниченности ресурсов.

Теоретические сведения

У предприятия есть m видов ресурсов (сырьё, оборудование, раб. сила и т. д) каждая в количестве b_i единиц i =1,2,... m. Предприятие выпускает n видов продукции. а_ij - количество единиц i -го ресурса, необходимого для выпуска 1ед. j -й продукции. Прибыль от 1ед. j -ой продукции равна с_j $. Продукции j -го вида надо выпускать не менее р_j ед.

Определить количество выпускаемой продукции каждого вида, при котором суммарная прибыль максимальна.

При составлении модели оптимизации необходимо выполнить 3 этапа:

1. Определяем значения каких параметров надо найти (что является входными параметрами). Обозначим их х 1, х 2,..., хn.

2. Записываем выражение целевой функции через х 1, х 2,..., хn.

3. Записываем выражение для ограничений через х 1, х 2,..., хn.

Итак:

1. Обозначим хj - объём выпуска j -й продукции (j =1,2,... n).

2. Целевая функция - прибыль. От 1ед. 1-й продукции она равна с 1 $, а от х 1 ед. - с 1∙ х 1. Аналогично от выпуска х 2 ед. 2-ой продукции с 2∙ х 2 и т.д. Суммарная прибыль:

q = с 1∙ х 1 + с 2∙ х 2 +...+ сn ∙ хn → max (1)

3.1. Ограничения на объём выпуска.

Согласно условию

хj ≥ рj (2)

3.2. Ограничения на ресурсы. На одну ед. 1-й продукции надо затратить а ₁₁ ед. 1-го ресурса., а на выпуск х 1 ед. 1-й продукции надо а ₁₁ х 1 1-го ресурса

а ₁₁ х 1 + а ₁₂ х 2 +...+ а_1n хn ≤ b ₁

………………………….. (3)

а_{m 1} х 1 + а_{m 2} х 2 +...+ а_mn хn ≤ b_m

3.3. По физическому смыслу

хj ≥0 (4)

Замечание. Часто в таких задачах исходные данные имеют различные размерности надо привести всё к одной размерности.

Задание. Исходные данные в приложении 3.

1. Построить систему ограничений.

2. Записать целевую функцию.

3. Решить задачу с помощью MathCAD.

4. Записать результат.

Пример решения

Условие. Автозавод выпускает две модели автомобилей. При производстве одной машины каждой марки затрачивается:

На автозаводе работают 1000 квалифицированных и 900 неквалифицированных рабочих, каждый из которых работает 40 часов в неделю. Затраты на сырье не должны превышать 900 тыс.$ в неделю. Рабочие, осуществляющие отправку автомобилей из цеха, работают по пятидневной рабочей неделе с производительностью 210 автомобилей в день. Какой объем продукции даст максимальную прибыль?

Решение.

1. Определяем входные параметры.

x 1 – количество автомобилей Вольво-850, выпускаемых в неделю

x 2 – количество автомобилей Вольво-940, выпускаемых в неделю

2. Выражение для целевой функции.

.

3. Ограничения.

- ограничение по квалифицированному труду;

- ограничение по неквалифицированному труду;

- ограничение по сырью;

- ограничение на доставку авто.

4. Решение задачи в MathCAD.

Записываем начальные значения искомых переменных и выражение для целевой функции с помощью панели «Арифметика» (рис. 1).

Рис. 1 Панель «Арифметика»

В блоке Given записываем ограничения:

Затем переменным x 1 и x 2 присваиваем минимум (максимум) целевой функции q (x 1 ,x 2) при помощи функции Minimaze (Maximaze) которая находится на панели инструментов (рис. 2):

Рис. 2 Вставка функции

Для получения решения записываем и нажимаем Enter. После этого полученное значение подставляем в выражения для q: и нажимаем Enter.

Полностью решенная задача в MathCAD выглядит следующим образом (рис. 3.):

Рис. 3. Решение задачи

Контрольные вопросы и задания

1. Назовите основные этапы составления модели.

2. В чем состоит отличие целых функций прибыли и затрат?

3. Запишите ограничения на ресурсы в общем виде.

4. В чем смысл ограничений на физическую реализацию?